白衣のものさし
医学部数学 過去問問題を探す

自治医科大学／2023年度／一次

7自治医科大学 2023年 数学 第7問解答・解説

いろいろな式数学と人間の活動（整数）

1問題

自治医科大学2023年度第7問
2 次方程式 (a+4)x2−2ax+a+b=0(a+4)x^{2}-2ax+a+b=0（aa、bb は整数、a≠−4a\neq -4）は重解をもつものとする。

bb が最小値となる場合の重解を x=px=p、bb が最大値となる場合の重解を x=qx=q とする。

p−qp-q の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    88（㋶）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

判別式が 0 という条件を整理すると (a+4)(b+4)=16(a+4)(b+4)=16 という積の形になる。a+4a+4 は 16 の約数。

解答

重解をもつ条件は
D4=a2−(a+4)(a+b)=−(ab+4a+4b)=0  ⟺  (a+4)(b+4)=16. \dfrac{D}{4}=a^{2}-(a+4)(a+b)=-(ab+4a+4b)=0\iff (a+4)(b+4)=16.
a+4a+4、b+4b+4 は整数だから、a+4a+4 は 16 の約数（±1, ±2, ±4, ±8, ±16\pm1,\,\pm2,\,\pm4,\,\pm8,\,\pm16）で、b+4=16a+4b+4=\dfrac{16}{a+4}。重解は x=aa+4x=\dfrac{a}{a+4}。
- bb が最小：b+4=−16b+4=-16、a+4=−1a+4=-1 より a=−5a=-5、b=−20b=-20。重解 p=−5−1=5p=\dfrac{-5}{-1}=5。
- bb が最大：b+4=16b+4=16、a+4=1a+4=1 より a=−3a=-3、b=12b=12。重解 q=−31=−3q=\dfrac{-3}{1}=-3。

p−q=8p-q=8。答えは 88（㋶）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 判別式
  • 整数解（積の形）

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

自治医科大学の数学を、過去 10 年分まとめて解けるものがあったら使いたいですか？

次にやること

同じ年度の次の問題第8問へ進む二次関数・図形と方程式

自治医科大学のほかの年度

2022

似た問題を、ほかの大学で