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自治医科大学／2023年度／一次

3自治医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

三角関数二次関数

1問題

自治医科大学2023年度第3問
方程式 sin⁡2x−cos⁡x+a=0\sin^{2}x-\cos x+a=0（aa は実数）が実数解をもつためには、とりうる aa の値は m≦a≦Mm\leqq a\leqq M の範囲になければならない。5∣M∣∣m∣\dfrac{5|M|}{|m|} の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    44（㋤）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

a=cos⁡x−sin⁡2xa=\cos x-\sin^{2}x と変形し、c=cos⁡xc=\cos x（−1≦c≦1-1\leqq c\leqq 1）の 2 次関数のとりうる値の範囲を求める。

解答

a=cos⁡x−sin⁡2x=cos⁡2x+cos⁡x−1a=\cos x-\sin^{2}x=\cos^{2}x+\cos x-1。c=cos⁡xc=\cos x は −1≦c≦1-1\leqq c\leqq 1 のすべての値をとるので、f(c)=c2+c−1=(c+12)2−54f(c)=c^{2}+c-1=\left(c+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{5}{4} のとりうる値の範囲を求めればよい。

最小値は c=−12c=-\dfrac{1}{2} で −54-\dfrac{5}{4}、最大値は c=1c=1 で 11。よって m=−54m=-\dfrac{5}{4}、M=1M=1 で
5∣M∣∣m∣=554=4. \dfrac{5|M|}{|m|}=\dfrac{5}{\frac{5}{4}}=4.
答えは 44（㋤）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • おき換え
  • 2次関数の値域

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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