20自治医科大学 2023年 数学 第20問解答・解説

次の文章を読み、以下の問い（問題 $\boxed{18}$〜$\boxed{21}$）に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ。

数列 $\{a_{n}\}$ は、$a_{1}=1$、$a_{n+1}-a_{n}=3^{n}$（$n$ は自然数）を満たしている。

III　数列 $\{b_{n}\}$（$n$ は自然数）は、$b_{n}=\dfrac{a_{n}}{4^{n}}$ であるとする。$S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}$ としたとき、$S_{n}=\boxed{20}$ となる。

㋐ $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}$　㋕ $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+\dfrac{1}{3}$
㋚ $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+\dfrac{2}{3}$　㋟ $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+1$
㋤ $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+\dfrac{4}{3}$　㋩ $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+\dfrac{5}{3}$
㋮ $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+2$　㋳ $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+\dfrac{7}{3}$
㋶ $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+\dfrac{8}{3}$　㋻ $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+3$