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自治医科大学／2023年度／一次

21自治医科大学 2023年 数学 第21問解答・解説

数列極限

1問題

自治医科大学2023年度第21問
次の文章を読み、以下の問い（問題 18\boxed{18}〜21\boxed{21}）に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ。

数列 {an}\{a_{n}\} は、a1=1a_{1}=1、an+1−an=3na_{n+1}-a_{n}=3^{n}（nn は自然数）を満たしている。

III　数列 {bn}\{b_{n}\}（nn は自然数）は、bn=an4nb_{n}=\dfrac{a_{n}}{4^{n}} であるとする。Sn=∑k=1nbkS_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k} としたとき、Sn=20S_{n}=\boxed{20} となる。

IV　lim⁡n→∞3Sn=21\displaystyle\lim_{n\to\infty}3S_{n}=\boxed{21} となる。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    44（㋤）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

SnS_{n} を nn の式で求め、(14)n\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}、(34)n\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n} が 0 に近づくことを使う。

解答

an=3n−12a_{n}=\dfrac{3^{n}-1}{2} より bn=12(34)n−12(14)nb_{n}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n} で、
Sn=16(14)n−32(34)n+43. S_{n}=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}-\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+\dfrac{4}{3}.
n→∞n\to\infty のとき (14)n→0\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\to 0、(34)n→0\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}\to 0 だから
lim⁡n→∞3Sn=3⋅43=4. \lim_{n\to\infty}3S_{n}=3\cdot\dfrac{4}{3}=4.
答えは 44（㋤）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 等比数列の和
  • 数列の極限

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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