2浜松医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

以下の問題に対する答案Aの中に誤りがあれば、誤りを指摘し、正しい答案になるように修正しなさい。
【問題】 $n$ を自然数とし、はじめに $n$ 個の素数 $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n$ を決めておく。このとき、整数を係数とする次数が1以上の多項式 $f(x)$ をどのように選んでも、それぞれの $f(x)$ に対して整数 $k$ が存在して、$f(k)$ は素因数分解が可能であるが、$p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n$ のみを用いて素因数分解することはできないことを証明せよ。ただし、整数が素因数分解が可能とは、その整数が1個以上の素数の積または1個以上の素数の積の $(-1)$ 倍として表すことができることを意味する。【答案A】 $f(x)$ の定数項は $f(0)$ であるから、仮定より $f(0)$ は整数である。よって、整数 $k$ として $k=p_1p_2\cdots p_nf(0)$ をとり、$f(x)$ に $x=k$ を代入すれば、再び仮定より、$f(k)$ は整数であるから素因数分解が可能である。一方、ある整数 $a$ を用いて
$$f(k)=f(p_1p_2\cdots p_nf(0))=f(0)(ap_1p_2\cdots p_n+1)$$
と表すことができるが、$ap_1p_2\cdots p_n+1$ はどの $p_i\ (1\leqq i\leqq n)$ でも割り切れないから、$f(k)$ は $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n$ のみを用いて素因数分解することはできない。（答案終了）