白衣のものさし
医学部数学 過去問問題を探す

自治医科大学／2023年度／一次

11自治医科大学 2023年 数学 第11問解答・解説

微分・積分の考え

1問題

自治医科大学2023年度第11問
直線 L:y=axL:y=ax（aa は実数、a≠0a\neq 0）と曲線 C:y=x3−4x2+4xC:y=x^{3}-4x^{2}+4x について考える。直線 L と曲線 C は異なる 3 つの点で交わり、原点以外の 2 つの交点の xx 座標はともに正の実数であるとする。直線 L と曲線 C で囲まれた 2 つの部分の面積が等しくなるときの aa の値を pp とする。9p9p の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    44（㋤）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

交点の xx 座標を 0<α<β0<\alpha<\beta とすると、2 つの部分の面積が等しいことは ∫0β{x3−4x2+(4−a)x} dx=0\displaystyle\int_{0}^{\beta}\{x^{3}-4x^{2}+(4-a)x\}\,dx=0 と同じ。

解答

x3−4x2+4x−ax=x{x2−4x+(4−a)}x^{3}-4x^{2}+4x-ax=x\{x^{2}-4x+(4-a)\}。原点以外の交点の xx 座標を α\alpha、β\beta（0<α<β0<\alpha<\beta）とする。h(x)=x3−4x2+(4−a)xh(x)=x^{3}-4x^{2}+(4-a)x は 0<x<α0<x<\alpha で正、α<x<β\alpha<x<\beta で負だから、2 つの部分の面積が等しい条件は
∫0βh(x) dx=β44−4β33+(4−a)β22=0  ⟺  3β2−16β+6(4−a)=0. \int_{0}^{\beta}h(x)\,dx=\dfrac{\beta^{4}}{4}-\dfrac{4\beta^{3}}{3}+\dfrac{(4-a)\beta^{2}}{2}=0 \iff 3\beta^{2}-16\beta+6(4-a)=0.
β\beta は x2−4x+4−a=0x^{2}-4x+4-a=0 の解だから 4−a=4β−β24-a=4\beta-\beta^{2}。代入すると
3β2−16β+24β−6β2=0  ⟺  β(8−3β)=0 3\beta^{2}-16\beta+24\beta-6\beta^{2}=0\iff \beta(8-3\beta)=0
で、β=83\beta=\dfrac{8}{3}。このとき 4−a=323−649=3294-a=\dfrac{32}{3}-\dfrac{64}{9}=\dfrac{32}{9}、a=49a=\dfrac{4}{9}。もう 1 つの交点は α=4−83=43\alpha=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3} で、条件を満たす。

p=49p=\dfrac{4}{9}、9p=49p=4。答えは 44（㋤）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 定積分と面積
  • 2つの部分の面積が等しい条件

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

自治医科大学の数学を、過去 10 年分まとめて解けるものがあったら使いたいですか？

次にやること

同じ年度の次の問題第12問へ進む指数関数・対数関数・微分・積分の考え

自治医科大学のほかの年度

2022

似た問題を、ほかの大学で