4島根大学 2024年 数学 第4問解答・解説

二項定理で展開する。(2) は順序つきの選び方を数えて、二項係数と階乗の積を表し、素数の性質を使う。(3) は $n=1$ を基底とする数学的帰納法で、帰納段階に二項定理と (2) を用いる。

(1)

二項定理より
$$(x+1)^{5}={}_{5}\mathrm{C}_{0}x^{5}+{}_{5}\mathrm{C}_{1}x^{4}+{}_{5}\mathrm{C}_{2}x^{3}+{}_{5}\mathrm{C}_{3}x^{2}+{}_{5}\mathrm{C}_{4}x+{}_{5}\mathrm{C}_{5}=x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1.$$

(2)

$1\leqq k\leqq p-1$ である。$p$ 個のものから異なる $k$ 個を順に選ぶ方法は $p(p-1)\cdots(p-k+1)$ 通りである。一方、選んだ $k$ 個の組合せの各々には順序が $k!$ 通りあるから、
$$p(p-1)\cdots(p-k+1)=k!\,{}_{p}\mathrm{C}_{k}.$$
右辺の ${}_{p}\mathrm{C}_{k}$ は組合せの総数なので整数である。また、$k!$ の各因数は 1 以上 $k$ 以下であり、いずれも素数 $p$ より小さいから、$p$ は $k!$ の約数ではない。上の等式の左辺は $p$ の倍数であるので、素数の性質より ${}_{p}\mathrm{C}_{k}$ は $p$ の倍数となる。

(3)

$n$ に対して「$n^{p}-n$ は $p$ の倍数である」を $P(n)$ とする。まず $n=1$ では $1^{p}-1=0$ だから $P(1)$ は成り立つ。
$P(n)$ が成り立つと仮定する。このとき二項定理と (2) より
$$(n+1)^{p}-(n+1)=(n^{p}-n)+\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}{}_{p}\mathrm{C}_{k}\,n^{p-k}.$$
仮定により右辺第 1 項は $p$ の倍数であり、(2) により和の各項も $p$ の倍数である。したがって $(n+1)^{p}-(n+1)$ は $p$ の倍数、すなわち $P(n+1)$ が成り立つ。以上より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について $n^{p}-n$ は $p$ の倍数である。