8自治医科大学 2023年 数学 第8問解答・解説

絶対値を外して区間ごとの式にする。直線 $L$ は $a$ によらず点 $(0,\,8)$ を通り、この点はグラフ上にもある。残りの共有点の数を区間ごとに数える。

絶対値を外すと
$$y=\begin{cases}x^{2}-6x+8 & (x<0)\\ -x^{2}+2x+8 & (0\leqq x<4)\\ x^{2}-2x-8 & (x\geqq 4)\end{cases}$$
$x=0$ で $y=8$ だから、点 $(0,\,8)$ は $a$ によらず共有点である。ほかの共有点を区間ごとに調べる。
- $x<0$：$x^{2}-6x+8=ax+8$ より $x(x-6-a)=0$、$x=a+6$。$a<-6$ のとき 1 個。
- $0<x<4$：$-x^{2}+2x+8=ax+8$ より $x(2-a-x)=0$、$x=2-a$。$-2<a<2$ のとき 1 個。
- $x\geqq 4$：$g(x)=x^{2}-(2+a)x-16=0$。2 解の積が $-16<0$ なので正の解はちょうど 1 つで、それが 4 以上となるのは $g(4)=-8-4a\leqq 0$、すなわち $a\geqq -2$ のとき 1 個。

共有点が全部で 3 個になるのは、$-2<a<2$ のとき（$a=-2$ では $x=2-a=4$ が $0<x<4$ に入らない）。$a<-6$ では 2 個、$-6\leqq a\leqq -2$ では 1 個または 2 個、$a\geqq 2$ では 2 個。

よって $m=-2$、$M=2$、$|m+M|=0$。答えは $0$（㋐）。