9千葉大学 2026年 数学 第9問解答・解説

(1)は二項定理と数学的帰納法で示す。(2)(3)は剰余類を代表する整数に分け、二項展開をp²を法として整理する。

(1) $n=0$では$n^{p}-n=0$である。$n^{p}-n$が$p$の倍数と仮定すると、二項定理より$$\begin{aligned}(n+1)^{p}-(n+1)&=n^{p}-n+\sum_{j=1}^{p-1}{}_{p}\mathrm{C}_{j} n^{p-j}\end{aligned}$$である。問題文で使用が許された性質から各${}_{p}\mathrm{C}_{j}$は$p$の倍数なので、右辺も$p$の倍数である。よって数学的帰納法によりすべての$n\geqq 0$で成り立つ。

(2) $x=kp$とおく。二項定理から$$\begin{aligned}(1+kp)^{p}-(1+kp)&=kp(p-1)+\sum_{j=2}^{p-1}{}_{p}\mathrm{C}_{j}(kp)^{j}+(kp)^{p}.\end{aligned}$$ここで$2\leqq j\leqq p-1$の各項は$p^{j+1}$の倍数であり、最後の項も$p^{p}$の倍数だから、和の後半は$p^{2}$の倍数である（$p=2$では中間の和は空）。したがって$(kp+1)^{p}-(kp+1)\equiv kp(p-1)\pmod{p^{2}}$。これが$p^{2}$の倍数となる条件は$k(p-1)$ は $p$ で割り切れる、すなわち$k$ は $p$ で割り切れる。$0\leqq k\leqq p-1$では$k=0$だけなので1個。

(3) 各$m$を一意に$m=a+kp$（$0\leqq a,k\leqq p-1$）と表す。二項展開で、$j=1$の項は$p\,a^{p-1}(kp)=k\,p^{2}a^{p-1}$、$j=2$から$p-1$の項は$p^{j+1}$の倍数、最後の$(kp)^{p}$も$p^{2}$の倍数である。よって$$\begin{aligned}m^{p}-m&\equiv a^{p}-a-kp\pmod{p^{2}}.\end{aligned}$$（$p=2$では$j=2$から$p-1$の項は空。）(1)より$c_{a}=\dfrac{a^{p}-a}{p}$は整数であり、$m^{p}-m$が$p^{2}$の倍数となる条件は$k\equiv c_{a}\pmod p$である。各$a=0,1,\cdots,p-1$に対し、この条件を満たす$k$は$0,1,\cdots,p-1$の中にちょうど1つある。したがって該当する$m$は合計$p$個。