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自治医科大学／2023年度／一次

16自治医科大学 2023年 数学 第16問解答・解説

ベクトル

1問題

自治医科大学2023年度第16問
次の文章を読み、以下の問い（問題 14\boxed{14}〜17\boxed{17}）に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ。

座標空間において 3 点 A(2, −2, −1)\mathrm{A}(2,\,-2,\,-1)、B(−1, 2, 0)\mathrm{B}(-1,\,2,\,0)、C(−1, 2, 2)\mathrm{C}(-1,\,2,\,2) の定める平面を平面 ABC とし、原点を O とする。

III　平面 ABC に原点 O から垂線 OH を下ろす。点 H の座標を (p, q, r)(p,\,q,\,r) としたとき、25(p−q+r)25(p-q+r) の値は 16\boxed{16} となる。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    22（㋚）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}}、AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} の両方に垂直なベクトル n⃗\vec{n} を求めると、OH→=kn⃗\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\vec{n} と書ける。H が平面上にあることは AH→⊥n⃗\overrightarrow{\mathrm{AH}}\perp\vec{n} で表せる。

解答

n⃗=(a, b, c)\vec{n}=(a,\,b,\,c) が AB→=(−3, 4, 1)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-3,\,4,\,1)、AC→=(−3, 4, 3)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-3,\,4,\,3) の両方に垂直とすると
−3a+4b+c=0,−3a+4b+3c=0 -3a+4b+c=0,\qquad -3a+4b+3c=0
より c=0c=0、3a=4b3a=4b。n⃗=(4, 3, 0)\vec{n}=(4,\,3,\,0) ととれる。

OH→\overrightarrow{\mathrm{OH}} は平面 ABC に垂直だから OH→=kn⃗\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\vec{n} と書ける。H は平面 ABC 上にあるので AH→⋅n⃗=0\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec{n}=0、すなわち
k∣n⃗∣2=OA→⋅n⃗=8−6+0=2 k|\vec{n}|^{2}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\vec{n}=8-6+0=2
で、k=225k=\dfrac{2}{25}。よって H(825, 625, 0)\mathrm{H}\left(\dfrac{8}{25},\,\dfrac{6}{25},\,0\right) で
25(p−q+r)=8−6+0=2. 25(p-q+r)=8-6+0=2.
答えは 22（㋚）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 平面の法線ベクトル
  • 垂線の足

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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