1富山大学 2025年 数学 第1問解答・解説

まず $x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1=(x^{2}-1)^{3}$ だから、
$$P(x)=x^{3}(x^{2}-1)^{3}(x^{2}+1)(x^{2}+2)(x^{2}+3).$$

(1)

$P(x)=(x^{2}-1)\{x^{3}(x^{2}-1)^{2}(x^{2}+1)(x^{2}+2)(x^{2}+3)\}$ と書け、波括弧内は整数係数多項式である。よって $P(x)$ は $x^{2}-1$ で割り切れる。

(2)

$6480=648\cdot10=(2^{3}\cdot3^{4})(2\cdot5)=2^{4}\cdot3^{4}\cdot5$。

(3)

$n$ を 2 以上の整数とする。

まず $2^{4}$ について。$n$ が偶数なら、$n^{3}$ は $2^{3}$ の倍数で、$n^{2}+2$ は偶数なので、$P(n)$ は $2^{4}$ の倍数である。$n$ が奇数なら、$n^{2}-1$ は $8$ の倍数である。したがって $(n^{2}-1)^{3}$ は $2^{9}$ の倍数であり、$P(n)$ は $2^{4}$ の倍数である。

次に $3^{4}$ について。$n$ が $3$ の倍数のとき、$n^{3}$ は $27$ の倍数で、$n^{2}+3$ は $3$ の倍数なので、$P(n)$ は $81$ の倍数である。$n$ が $3$ の倍数でないとき、$n^{2}\equiv1\pmod{3}$ だから、$n^{2}-1$ と $n^{2}+2$ はともに $3$ の倍数である。よって $(n^{2}-1)^{3}$ は $27$ の倍数であり、$P(n)$ は $81$ の倍数である。

最後に $5$ について。$n$ が $5$ の倍数のとき、$n^{3}$ は $5$ の倍数である。そうでないとき $n^{2}\equiv1$ または $4\pmod{5}$ である。前者では $n^{2}-1$ が $5$ の倍数、後者では $n^{2}+1$ が $5$ の倍数だから、いずれも $P(n)$ は $5$ の倍数である。

以上より $P(n)$ は $16$、$81$、$5$ の倍数である。$16$、$81$、$5$ は互いに素で、その積は $6480$ なので、$P(n)$ は $6480$ の倍数である。