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自治医科大学／2023年度／一次

23自治医科大学 2023年 数学 第23問解答・解説

微分・積分の考え

1問題

自治医科大学2023年度第23問
次の文章を読み、以下の問い（問題 22\boxed{22}〜25\boxed{25}）に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ。

関数 f(x)=x3−9x2+kx+5f(x)=x^{3}-9x^{2}+kx+5（kk は実数）は、x=αx=\alpha のとき極大値をとり、x=βx=\beta のとき極小値をとるものとする（α<β\alpha<\beta、α\alpha、β\beta は実数）。

II　極大値と極小値の差の絶対値が 4 となるときの kk の値を pp とする。p8=23\dfrac{p}{8}=\boxed{23} となる。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    33（㋟）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

f(α)−f(β)=−∫αβf′(x) dxf(\alpha)-f(\beta)=-\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f'(x)\,dx で、f′(x)=3(x−α)(x−β)f'(x)=3(x-\alpha)(x-\beta) を使うと β−α\beta-\alpha だけで表せる。

解答

f′(x)=3(x−α)(x−β)f'(x)=3(x-\alpha)(x-\beta) だから
f(α)−f(β)=−∫αβ3(x−α)(x−β) dx=3⋅(β−α)36=(β−α)32. f(\alpha)-f(\beta)=-\int_{\alpha}^{\beta}3(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=3\cdot\dfrac{(\beta-\alpha)^{3}}{6}=\dfrac{(\beta-\alpha)^{3}}{2}.
これが 4 だから β−α=2\beta-\alpha=2。α\alpha、β\beta は 3x2−18x+k=03x^{2}-18x+k=0 の解で、α+β=6\alpha+\beta=6、αβ=k3\alpha\beta=\dfrac{k}{3} より
(β−α)2=36−4k3=4 (\beta-\alpha)^{2}=36-\dfrac{4k}{3}=4
で、k=24k=24（k<27k<27 を満たす）。p=24p=24、p8=3\dfrac{p}{8}=3。答えは 33（㋟）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 極値の差
  • 定積分の公式

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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