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自治医科大学／2023年度／一次

13自治医科大学 2023年 数学 第13問解答・解説

積分法

1問題

自治医科大学2023年度第13問
曲線 C1:y=exsin⁡xC_{1}:y=e^{x}\sin x、曲線 C2:y=excos⁡xC_{2}:y=e^{x}\cos x について考える。

−3π4≦x≦π4-\dfrac{3\pi}{4}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{4}（xx は実数）のとき、曲線 C1C_{1} と曲線 C2C_{2} で囲まれた部分の面積を SS とする。

2⋅S\sqrt{2}\cdot S の値を求めよ。

㋐ eπ2+e−πe^{\frac{\pi}{2}}+e^{-\pi}　㋕ eπ2+e−3π4e^{\frac{\pi}{2}}+e^{-\frac{3\pi}{4}}　㋚ eπ2+e−π2e^{\frac{\pi}{2}}+e^{-\frac{\pi}{2}}　㋟ eπ2+e−π4e^{\frac{\pi}{2}}+e^{-\frac{\pi}{4}}
㋤ eπ2+e−π8e^{\frac{\pi}{2}}+e^{-\frac{\pi}{8}}　㋩ eπ4+e−πe^{\frac{\pi}{4}}+e^{-\pi}　㋮ eπ4+e−3π4e^{\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{3\pi}{4}}　㋳ eπ4+e−π2e^{\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{\pi}{2}}
㋶ eπ4+e−π4e^{\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{\pi}{4}}　㋻ eπ4+e−π8e^{\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{\pi}{8}}

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    eπ4+e−3π4e^{\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{3\pi}{4}}（㋮）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

交点は sin⁡x=cos⁡x\sin x=\cos x の x=−3π4x=-\dfrac{3\pi}{4}、π4\dfrac{\pi}{4} で、その間では cos⁡x>sin⁡x\cos x>\sin x。被積分関数 ex(cos⁡x−sin⁡x)e^{x}(\cos x-\sin x) は excos⁡xe^{x}\cos x の導関数になっている。

解答

ex>0e^{x}>0 だから、交点は sin⁡x=cos⁡x\sin x=\cos x より x=−3π4x=-\dfrac{3\pi}{4}、π4\dfrac{\pi}{4}。その間（たとえば x=0x=0）では cos⁡x>sin⁡x\cos x>\sin x なので C2C_{2} が上にある。

(excos⁡x)′=ex(cos⁡x−sin⁡x)(e^{x}\cos x)'=e^{x}(\cos x-\sin x) だから
S=∫−3π4π4ex(cos⁡x−sin⁡x) dx=[excos⁡x]−3π4π4=22eπ4+22e−3π4. S=\int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}(\cos x-\sin x)\,dx=\Big[e^{x}\cos x\Big]_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{\pi}{4}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{3\pi}{4}}.
よって 2⋅S=eπ4+e−3π4\sqrt{2}\cdot S=e^{\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{3\pi}{4}}。答えは ㋮。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 2曲線の間の面積
  • 積の微分の利用

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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