3東京慈恵会医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

整数値条件の有限差分で係数の2倍が整数と分かる。線形因子の根を代入して互いに素なp,qによる約数性を導き、(2)は具体例で反証する。

(1)

$f(k-1),f(k),f(k+1)$ は整数なので，二階差より $$f(k+1)-2f(k)+f(k-1)=2a\text{ は整数}.$$ また $$f(k+1)-f(k-1)=4ak+2b\text{ は整数}$$ であり，$4ak=2k(2a)\text{ は整数}$ だから $2b\text{ は整数}$ である。さらに $$2c=2f(k)-(2a)k^2-(2b)k\text{ は整数}.$$

$f(x)$ は $px-q$ で割り切れるから，$f\left(\dfrac{q}{p}\right)=0$ である。$u=q-pk$ とおくと、$u$ は整数であり、$\dfrac{q}{p}=k+\dfrac{u}{p}$ となる。二次式の展開から $$0=2p^2f\left(\dfrac{q}{p}\right)=2p^2f(k)+pu\{2f'(k)\}+(2a)u^2.$$ ここで $2f'(k)=4ak+2b=f(k+1)-f(k-1)$ は整数である。したがって右辺の最初の二項は $p$ の倍数であり，$(2a)u^2$ は $p$ で割り切れる を得る。また $u=q-pk$ と $p$ は互いに素（$p$ と $q$ が互いに素だから）なので，互いに素な整数の性質より $2a$ は $p$ で割り切れる。ゆえに $\dfrac{2a}{p}$ は整数である。

次に $f\left(\dfrac{q}{p}\right)=0$ を分母払いして2倍すると $$(2a)q^2+(2b)pq+(2c)p^2=0.$$ $2a,2b,2c$ は整数なので，この式を $q$ で見ると $(2c)p^2$ は $q$ で割り切れる。$p^2$ と $q$ は互いに素なので $2c$ は $q$ で割り切れる。従って $\dfrac{2c}{q}$ も整数である。

(2)

反例で否定される。$p=q=1$ は互いに素な自然数であり，$f(x)=\dfrac12x^2-\dfrac12x=\dfrac{x(x-1)}2$ は $x-1$ で割り切れる。$k=1$ とすると $f(0)=0,\ f(1)=0,\ f(2)=1$ はすべて整数で，二次係数 $a=\dfrac{1}{2}\ne0$ である。しかし $\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{2}\text{ は整数でない}$ なので，命題は正しくない。