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自治医科大学／2023年度／一次

5自治医科大学 2023年 数学 第5問解答・解説

数と式

1問題

自治医科大学2023年度第5問
β=7+523\beta=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} であるとき、β4−12β\beta^{4}-12\beta の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    55（㋩）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

7+527+5\sqrt{2} を (a+b2)3(a+b\sqrt{2})^{3} の形に書けないか考える。

解答

(1+2)3=1+32+6+22=7+52(1+\sqrt{2})^{3}=1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=7+5\sqrt{2} だから β=1+2\beta=1+\sqrt{2}。
β2=3+22,β4=(3+22)2=17+122 \beta^{2}=3+2\sqrt{2},\qquad \beta^{4}=(3+2\sqrt{2})^{2}=17+12\sqrt{2}
より
β4−12β=17+122−12−122=5. \beta^{4}-12\beta=17+12\sqrt{2}-12-12\sqrt{2}=5.
答えは 55（㋩）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 3乗根の計算

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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