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自治医科大学／2023年度／一次

17自治医科大学 2023年 数学 第17問解答・解説

ベクトル

1問題

自治医科大学2023年度第17問
次の文章を読み、以下の問い（問題 14\boxed{14}〜17\boxed{17}）に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ。

座標空間において 3 点 A(2, −2, −1)\mathrm{A}(2,\,-2,\,-1)、B(−1, 2, 0)\mathrm{B}(-1,\,2,\,0)、C(−1, 2, 2)\mathrm{C}(-1,\,2,\,2) の定める平面を平面 ABC とし、原点を O とする。

IV　四面体 OABC の体積を VV とする。6V6V の値は 17\boxed{17} となる。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    44（㋤）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

底面を △ABC\triangle\mathrm{ABC} とすると、高さは O から平面 ABC までの距離 OH\mathrm{OH}。面積 SS と OH\mathrm{OH} を求める。

解答

AB→=(−3, 4, 1)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-3,\,4,\,1)、AC→=(−3, 4, 3)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-3,\,4,\,3) から、△ABC\triangle\mathrm{ABC} の面積は
S=1226⋅34−282=5. S=\dfrac{1}{2}\sqrt{26\cdot 34-28^{2}}=5.
AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}}、AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} の両方に垂直なベクトルは n⃗=(4, 3, 0)\vec{n}=(4,\,3,\,0)。O から平面 ABC に下ろした垂線の足を H とすると OH→=kn⃗\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\vec{n}、AH→⋅n⃗=0\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec{n}=0 より 25k=OA→⋅n⃗=225k=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\vec{n}=2、k=225k=\dfrac{2}{25}。よって
OH=225⋅5=25. \mathrm{OH}=\dfrac{2}{25}\cdot 5=\dfrac{2}{5}.
V=13⋅5⋅25=23V=\dfrac{1}{3}\cdot 5\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{3} で、6V=46V=4。答えは 44（㋤）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 平面の法線ベクトル
  • 四面体の体積

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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