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自治医科大学／2023年度／一次

10自治医科大学 2023年 数学 第10問解答・解説

図形と計量

1問題

自治医科大学2023年度第10問
AB=13\mathrm{AB}=13、BC=14\mathrm{BC}=14、CA=15\mathrm{CA}=15 である △ABC\triangle\mathrm{ABC} について考える。△ABC\triangle\mathrm{ABC} の面積を SS、外接円の半径を RR とする。

2195SR\dfrac{2}{195}SR の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    77（㋳）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

余弦定理で 1 つの角の余弦を求め、正弦から面積を、正弦定理から外接円の半径を求める。

解答

余弦定理より
cos⁡B=132+142−1522⋅13⋅14=140364=513,sin⁡B=1213. \cos B=\dfrac{13^{2}+14^{2}-15^{2}}{2\cdot 13\cdot 14}=\dfrac{140}{364}=\dfrac{5}{13},\qquad \sin B=\dfrac{12}{13}.
S=12⋅13⋅14⋅1213=84,R=CA2sin⁡B=152⋅1312=658. S=\dfrac{1}{2}\cdot 13\cdot 14\cdot\dfrac{12}{13}=84,\qquad R=\dfrac{\mathrm{CA}}{2\sin B}=\dfrac{15}{2}\cdot\dfrac{13}{12}=\dfrac{65}{8}.
よって
2195SR=2195⋅84⋅658=7. \dfrac{2}{195}SR=\dfrac{2}{195}\cdot 84\cdot\dfrac{65}{8}=7.
答えは 77（㋳）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 余弦定理
  • 正弦定理
  • 三角形の面積

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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