3京都大学 2026年 数学 第3問解答・解説

n は正の整数なので、$N=2^n$ とおく。
$$P(x)=(x+1)^{2N}-(x^2+1)^N$$
とする。
$$(x+1)^2=(x^2+1)+2x$$
だから、二項定理より
$$P(x)=((x^2+1)+2x)^N-(x^2+1)^N =\sum_{k=1}^{N}{}_{N}\mathrm{C}_{k}(2x)^k(x^2+1)^{N-k}.$$
各項の係数に含まれる2の因数を調べる。
$$(1+t)^N=(1+t)^{2^n}\equiv 1+t^N\pmod 2$$
である。また
$$(1+t)(1+t+\cdots+t^{N-1})\equiv 1+t^N\pmod 2$$
だから、$Q(t)=(1+t)^{N-1}-(1+t+\cdots+t^{N-1})$ とおくと、$(1+t)Q(t)\equiv0\pmod 2$ となる。もし $Q(t)$ が2を法として零でなければ、その最高次係数は1であり、$(1+t)Q(t)$ の最高次項も残るので零多項式にはならない。したがって
$$(1+t)^{N-1}\equiv 1+t+\cdots+t^{N-1}\pmod 2.$$
よって、$1\leqq k\leqq N$ に対し $B={}_{N-1}\mathrm{C}_{k-1}$ は奇数である。

$k=2^r u$（$u$ は奇数）と書く。恒等式 $k{}_{N}\mathrm{C}_{k}=N{}_{N-1}\mathrm{C}_{k-1}$ より
$$u{}_{N}\mathrm{C}_{k}=2^{n-r}B.$$
$u$ と $2^{n-r}$ は互いに素なので、約数・倍数の性質から $2^{n-r}\mid{}_{N}\mathrm{C}_{k}$ である。さらに $k\geqq 2^r\geqq r+1$ より $k+n-r\geqq n+1$ となる。したがって $2^k{}_{N}\mathrm{C}_{k}$ は $2^{n+1}$ で割り切れる。各 $(x^2+1)^{N-k}$ は整数係数多項式なので、展開式の各項、したがって $P(x)$ のすべての係数が $2^{n+1}$ で割り切れる。

一方、$P(x)$ の $x$ の係数は、第一項から ${}_{2N}\mathrm{C}_{1}=2N=2^{n+1}$、第二項からは0だけ寄与する。したがってこの係数は $2^{n+1}$ では割り切れるが $2^{n+2}$ では割り切れない。ゆえに、すべての係数が $2^m$ で割り切れる正整数 $m$ の最大値は $n+1$ である。