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自治医科大学／2023年度／一次

12自治医科大学 2023年 数学 第12問解答・解説

指数関数・対数関数微分・積分の考え

1問題

自治医科大学2023年度第12問
関数 f(x)=(log⁡2x−5)(log⁡4x+52)(log⁡8x−log⁡82)f(x)=(\log_{2}x-\sqrt{5})\left(\log_{4}x+\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)(\log_{8}x-\log_{8}2) について考える。

x>1x>1（xx は実数）のとき、関数 f(x)f(x) は x=bx=b で最小値 mm をとる。

∣b3+162m∣|b^{3}+162m| の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    88（㋶）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

底を 2 にそろえて t=log⁡2xt=\log_{2}x（t>0t>0）とおくと、ff は tt の 3 次関数になる。

解答

t=log⁡2xt=\log_{2}x とおくと、x>1x>1 より t>0t>0。log⁡4x=t2\log_{4}x=\dfrac{t}{2}、log⁡8x=t3\log_{8}x=\dfrac{t}{3}、log⁡82=13\log_{8}2=\dfrac{1}{3} だから
f(x)=(t−5)⋅t+52⋅t−13=16(t2−5)(t−1)=16(t3−t2−5t+5). f(x)=(t-\sqrt{5})\cdot\dfrac{t+\sqrt{5}}{2}\cdot\dfrac{t-1}{3}=\dfrac{1}{6}(t^{2}-5)(t-1)=\dfrac{1}{6}(t^{3}-t^{2}-5t+5).
これを g(t)g(t) とおくと g′(t)=16(3t2−2t−5)=16(3t−5)(t+1)g'(t)=\dfrac{1}{6}(3t^{2}-2t-5)=\dfrac{1}{6}(3t-5)(t+1)。t>0t>0 では t=53t=\dfrac{5}{3} で減少から増加に変わり、最小値は
g(53)=16(259−5)(53−1)=16⋅(−209)⋅23=−2081. g\left(\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{25}{9}-5\right)\left(\dfrac{5}{3}-1\right)=\dfrac{1}{6}\cdot\left(-\dfrac{20}{9}\right)\cdot\dfrac{2}{3}=-\dfrac{20}{81}.
m=−2081m=-\dfrac{20}{81}、b=253b=2^{\frac{5}{3}} で b3=32b^{3}=32。よって ∣b3+162m∣=∣32−40∣=8|b^{3}+162m|=|32-40|=8。答えは 88（㋶）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 底の変換
  • おき換え
  • 3次関数の増減

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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