1自治医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

N+a が 4 の倍数かつ 9 の倍数となるのは、4 と 9 が互いに素であることから、N+a が 36 の倍数となるときである。
10 を 36 で割った余りを調べる。
$10^{2}=100=36\cdot 2+28$ より $10^{2}\equiv 28\ (\mathrm{mod}\ 36)$。
$10^{n}\equiv 28\ (\mathrm{mod}\ 36)$ のとき、$10^{n+1}\equiv 10\cdot 28=280=36\cdot 7+28\equiv 28\ (\mathrm{mod}\ 36)$ となる。よって $n\geqq 2$ のすべての整数 $n$ について $10^{n}\equiv 28\ (\mathrm{mod}\ 36)$ である。
N の 10 のべき乗の指数 330、212、86、56、10 はすべて 2 以上なので、
$$N\equiv (6+5+7+3+2)\cdot 28+326=23\cdot 28+326=970\ (\mathrm{mod}\ 36)$$
となる。$970=36\cdot 26+34$ より $N\equiv 34\ (\mathrm{mod}\ 36)$ である。
よって $N+a\equiv 34+a\equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 36)$ から、$a\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 36)$ である。
$a=2$ のとき $N+2$ は 36 の倍数となる。$a=0$ は $34\not\equiv 0\ (\mathrm{mod}\ 36)$ より成り立たないので、求める最小の自然数は $a=2$ である。