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自治医科大学／2023年度／一次

6自治医科大学 2023年 数学 第6問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面

1問題

自治医科大学2023年度第6問
複素数 (1+3 i1+i)n\left(\dfrac{1+\sqrt{3}\,i}{1+i}\right)^{n}（i2=−1i^{2}=-1、nn は自然数）が正の実数となる最小の nn を mm とする。

m8\dfrac{m}{8} の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    33（㋟）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

分子と分母を極形式にして割り、偏角を求める。nn 乗の偏角が 2π2\pi の整数倍になればよい。

解答

1+3 i=2(cos⁡π3+isin⁡π3),1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4) 1+\sqrt{3}\,i=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right),\qquad 1+i=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)
だから
1+3 i1+i=2(cos⁡π12+isin⁡π12). \dfrac{1+\sqrt{3}\,i}{1+i}=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12}\right).
ド・モアブルの定理より、nn 乗は (2)n(cos⁡nπ12+isin⁡nπ12)(\sqrt{2})^{n}\left(\cos\dfrac{n\pi}{12}+i\sin\dfrac{n\pi}{12}\right)。これが正の実数となるのは nπ12\dfrac{n\pi}{12} が 2π2\pi の整数倍のとき、すなわち nn が 24 の倍数のときで、最小の nn は m=24m=24。

m8=3\dfrac{m}{8}=3。答えは 33（㋟）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 極形式
  • ド・モアブルの定理

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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