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自治医科大学／2023年度／一次

2自治医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

指数関数・対数関数

1問題

自治医科大学2023年度第2問
方程式
{log⁡x(4x2−x−6)}2−(5+log⁡x2)log⁡x(4x2−x−6)+3log⁡x2+6=0 \{\log_{x}(4x^{2}-x-6)\}^{2}-(5+\log_{x}2)\log_{x}(4x^{2}-x-6)+3\log_{x}2+6=0
（x>0x>0、x≠1x\neq 1、xx は実数）のすべての解の値の和を S とする。S の値を求めよ。

㋐ 00　㋕ 11　㋚ 22　㋟ 33　㋤ 44
㋩ 55　㋮ 66　㋳ 77　㋶ 88　㋻ 99

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 答え
    55（㋩）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

L=log⁡x(4x2−x−6)L=\log_{x}(4x^{2}-x-6)、u=log⁡x2u=\log_{x}2 とおくと、LL の 2 次式として因数分解できる。

解答

L=log⁡x(4x2−x−6)L=\log_{x}(4x^{2}-x-6)、u=log⁡x2u=\log_{x}2 とおくと
L2−(5+u)L+3u+6=(L−3){L−(u+2)}=0. L^{2}-(5+u)L+3u+6=(L-3)\{L-(u+2)\}=0.
- L=3L=3 のとき：4x2−x−6=x34x^{2}-x-6=x^{3}、すなわち x3−4x2+x+6=(x−2)(x−3)(x+1)=0x^{3}-4x^{2}+x+6=(x-2)(x-3)(x+1)=0。x>0x>0、x≠1x\neq 1 より x=2, 3x=2,\,3。どちらも 4x2−x−6>04x^{2}-x-6>0（88、2727）を満たす。
- L=u+2L=u+2 のとき：u+2=log⁡x2x2u+2=\log_{x}2x^{2} だから 4x2−x−6=2x24x^{2}-x-6=2x^{2}、2x2−x−6=(2x+3)(x−2)=02x^{2}-x-6=(2x+3)(x-2)=0 より x=2x=2。

解は x=2, 3x=2,\,3 で、S=5S=5。答えは 55（㋩）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • おき換え
  • 因数分解
  • 真数条件

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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