8千葉大学 2023年 数学 第8問解答・解説

(1)

$z\neq0$なので、$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$（$r>0$、$0\leqq\theta<2\pi$）とおく。$|z|^{3}=|i|=1$より$r=1$である。ド・モアブルの定理から
$$3\theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi.$$
$0\leqq\theta<2\pi$に入るものは$k=0,\,1,\,2$であり、
$$z=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}\right)\quad(k=0,\,1,\,2).$$
したがって、求める複素数は
$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i,\qquad -\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i,\qquad -i$$
である。

(2)

$z^{100}=i$の根は
$$z_{k}=\cos\theta_{k}+i\sin\theta_{k},\qquad \theta_{k}=\dfrac{(4k+1)\pi}{200},\qquad k=0,\,1,\,\cdots,\,99$$
である。これらの偏角は$0<\theta_{k}<2\pi$を満たす。$z_{k}$の虚部が$0$以上であることは$0<\theta_{k}<\pi$と同値であり、その範囲では$z_{k}$の実部が$\dfrac{1}{2}$以下であることは$\theta_{k}\geqq\dfrac{\pi}{3}$と同値である。よって
$$\dfrac{\pi}{3}\leqq\dfrac{(4k+1)\pi}{200}\leqq\pi\quad\text{すなわち}\quad\dfrac{200}{3}\leqq4k+1\leqq200\quad\text{すなわち}\quad17\leqq k\leqq49$$
である。したがって個数は$49-17+1=33$である。

(3)

$z^{n}=i$の根の偏角は$\theta_{j}=\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+2j\pi}{n}$（$j$は整数）で表せる。実部が$\dfrac{1}{2}$以上となる根に対応する偏角の代表は$-\dfrac{\pi}{3}\leqq\theta_{j}\leqq\dfrac{\pi}{3}$に限られる。この区間の幅は$\dfrac{2\pi}{3}<2\pi$なので、同じ根を重複して数えない。条件は
$$-\dfrac{n}{6}-\dfrac{1}{4}\leqq j\leqq\dfrac{n}{6}-\dfrac{1}{4}$$
となる。左端以上右端以下の整数の個数を数えると、$q$を非負整数として
$$\begin{array}{c|c|c} n&j\text{ の範囲}&N\\\hline 3q&-\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{4}\leqq j\leqq\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{4}&q\\ 3q+1&-\dfrac{q}{2}-\dfrac{5}{12}\leqq j\leqq\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{12}&q\\ 3q+2&-\dfrac{q}{2}-\dfrac{7}{12}\leqq j\leqq\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{12}&q+1 \end{array}$$
である。したがって、$n=3q$では$N=\dfrac{n}{3}$、$n=3q+1$では$N=q<\dfrac{n}{3}=q+\dfrac{1}{3}$、$n=3q+2$では$N=q+1>\dfrac{n}{3}=q+\dfrac{2}{3}$となる。よって必要十分条件は
$$n\equiv2\pmod{3}$$
である。

複素数を極形式で表し、ド・モアブルの定理で根の偏角を等間隔に記述する。実部・虚部の条件を偏角の区間に直して根の個数を数える。