1山口大学 2025年 数学 第1問解答・解説

次の問いに答えなさい。
(1) 次の複素数を極形式 $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ で表すとき、$r$ と $\theta$ の値を求めなさい。ただし、$r>0$ で、偏角 $\theta$ の範囲は $0\leqq\theta<2\pi$ とする。また、$i$ を虚数単位とする。
(i) $\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}i\right)^{2}$
(ii) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}i$
(2) 数列 $\{a_n\}$ が
$$a_1=3,\qquad a_{n+1}a_n-3a_n+2=0\quad(n=1,2,3,\cdots)$$
で定められるとき、次の問いに答えなさい。
(i) 数列 $\{b_n\}$ を
$$b_1=3,\qquad b_{n+1}=a_{n+1}b_n\quad(n=1,2,3,\cdots)$$
によって定める。$n\geqq2$ に対して、$b_{n+1}$ を $b_n$ と $b_{n-1}$ を用いて表しなさい。
(ii) (i)で定めた数列 $\{b_n\}$ に対して、$b_{n+1}-b_n$ を $n$ を用いて表しなさい。
(iii) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めなさい。