2九州大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) $f(z)=(z^2+1)(z^4+1)$。根は $z^2=-1$ または $z^4=-1$ を満たす。絶対値をとると、それぞれ $|z|^2=1$ または $|z|^4=1$ となり、いずれも $|z|=1$。
(2) $\omega=\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4)$ とおくと根の集合は $S=\{\omega^k:k=1,2,3,5,6,7\}$。$w=0$ は $f(0)=1$ より不適。$wi$ が $S$ の要素であることと $i^8=1$ から $w^8=1$、従って $w=\omega^j$（$j=0,\ldots,7$）。
$j=1,2,3$ なら、それぞれ $k=3,2,1$ に対し $j+k=4$ となる。したがって $w\omega^k=-1$ であり、この値は $S$ の要素ではない。$j=5,6,7$ なら、それぞれ $k=3,2,1$ に対し $j+k=8$ となる。したがって $w\omega^k=1$ であり、この値は $S$ の要素ではない。残る $j=0,4$ は $w=1,-1$ に対応し、$f(-z)=f(z)$ より両方条件を満たす。よって $\boxed{w=\pm1}$。