4筑波大学 2026年 数学 第4問解答・解説

単位円上の複素数は $z=\cos\theta+i\sin\theta$ と表せる。以下では $e^{i\theta}$ はこの表示 $\cos\theta+i\sin\theta$ の略記として用いる。べき乗にはド・モアブルの定理を用いる。

(1) $|z_j|=1$ より $z_j^{-1}=e^{-i\theta_j}=\cos\theta_j-i\sin\theta_j$ であるから
$$\begin{aligned} \left|\sum_{j=1}^3z_j^{-1}\right|^2 &=\left(\sum_{j=1}^3e^{-i\theta_j}\right)\left(\sum_{k=1}^3e^{i\theta_k}\right)\\ &=3+\sum_{j<k}\left(e^{i(\theta_j-\theta_k)}+e^{-i(\theta_j-\theta_k)}\right)\\ &=3+2\{\cos(\theta_1-\theta_2)+\cos(\theta_2-\theta_3)+\cos(\theta_3-\theta_1)\}. \end{aligned}$$$${\left|\sum _{j=1}^3{z}_j^{-1}\right|}^2=\left(\sum _{j=1}^3{e}^{-i{\theta }_j}\right)\left(\sum _{k=1}^3{e}^{i{\theta }_k}\right)$$$$=3+\sum _{j<k}\left(e^{i({\theta }_j-{\theta }_k)}+e^{-i({\theta }_j-{\theta }_k)}\right)$$$$=3+2\{\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+\cos ({\theta }_2-{\theta }_3)+\cos ({\theta }_3-{\theta }_1)\}.$$

(2) $w=\cos\varphi+i\sin\varphi$ とおく。略記 $w=e^{i\varphi}$ を使えば
$$w^{-1}+w^{-2}+w^{-3}=w^{-2}(w+1+w^{-1})=w^{-2}(1+2\cos\varphi).$$
$|w^{-2}|=1$ なので求める絶対値は $|1+2\cos\varphi|$。$-1\leqq\cos\varphi\leqq1$ より最大値は $3$ で $w=1$ のとき、最小値は $0$ で $\cos\varphi=-1/2$、すなわち $w=-\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i$ のときに達する。

(3) $z=\cos\theta+i\sin\theta$ とし、ド・モアブルの定理により $u=z^{-5}=\cos5\theta-i\sin5\theta$ とおくと
$$1+u+u^2=u(1+u+u^{-1})=u(1+2\cos5\theta).$$
よって $|1+z^{-5}+z^{-10}|=|1+2\cos5\theta|$。最小値は $0$ で、これは
$$5\theta\equiv2\pi/3\quad\text{または}\quad5\theta\equiv4\pi/3\pmod{2\pi}$$
のときに限る。$0\leqq\theta<2\pi$ では各合同式に5解ずつあり、二つの解集合は交わらない。よって最小値を与える $z$ は合計 $10$ 個である。