5新潟大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1)

ド・モアブルの定理より$\alpha^{11}=\beta^{11}=1$である。また$\beta=\alpha^{-1}$だから$\beta^{9}=\alpha^{2}$である。よって$\alpha^{11}+\beta^{11}=2$、$\alpha^{2}-\beta^{9}=0$である。

(2)

$B=\alpha^{10}+\alpha^{8}+\alpha^{7}+\alpha^{6}+\alpha^{2}$なので、$A+B=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\alpha^{k}=-1$となる。最後は、$\alpha\ne1$かつ$\alpha^{11}=1$より、等比数列の和の公式を用いる。

(3)

集合$S=\{1,\,3,\,4,\,5,\,9\}$とすると、$AB=\displaystyle\sum_{a\in S}\sum_{b\in S}\alpha^{a-b}$である。差$a-b$を11で割った余りは、$a=b$の5組では0となる。残る20組では1から10が各2回ずつ現れる。具体的に各行の差は次のとおり。
$$\begin{array}{c|c}a&a-b\ (b\ne a)\\\hline1&9,8,7,3\\3&2,10,9,5\\4&3,1,10,6\\5&4,2,1,7\\9&8,6,5,4\end{array}$$
したがって$AB=5+2(-1)=3$である。

(4)

$(A-B)^{2}=(A+B)^{2}-4AB=-11$である。また、$A$の虚部について次が成り立つ。
$$\sin\dfrac{2\pi}{11}+\sin\dfrac{5\pi}{11}+\sin\dfrac{3\pi}{11}+\sin\dfrac{\pi}{11}-\sin\dfrac{4\pi}{11}>0$$
実際、$0<\dfrac{4\pi}{11}<\dfrac{5\pi}{11}<\dfrac{\pi}{2}$では正弦は増加するので$\sin\dfrac{5\pi}{11}>\sin\dfrac{4\pi}{11}$であり、残りの三つの項はすべて正である。
$B=\overline{A}$より、$A-B$は純虚数で虚部が正である。よって$A-B=i\sqrt{11}$となる。