／ 2026 年度／ 前期
2 琉球大学 2026年 数学 第2問解答・解説 数と式 指数関数・対数関数 微分法 積分法
1 問題2 答え3 解答1 問題琉球大学 2026 年度第2問
関数
f ( x ) f(x) f ( x ) が
f ( x ) = e x + e − x 2 f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} f ( x ) = 2 e x + e − x で与えられているとする。関数
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) のグラフを
C C C とする。次の問いに答えよ。（50点）
問1
f ( x ) f(x) f ( x ) は以下の関係式をみたすことを示せ。
(i)
{ f ( x ) } 2 − { f ′ ( x ) } 2 = 1 \{f(x)\}^{2}-\{f'(x)\}^{2}=1 { f ( x ) } 2 − { f ′ ( x ) } 2 = 1 (ii)
f ′ ′ ( x ) = f ( x ) f''(x)=f(x) f ′′ ( x ) = f ( x ) ただし、
f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) および
f ′ ′ ( x ) f''(x) f ′′ ( x ) は、それぞれ
f ( x ) f(x) f ( x ) の第1次導関数および第2次導関数を表す。
問2
a > 0 a>0 a > 0 をみたす実数
a a a に対して、曲線
C C C 上の点
P ( a , f ( a ) ) P(a,f(a)) P ( a , f ( a )) をとる。次に、曲線
C C C 上の点
Q ( b , f ( b ) ) Q(b,f(b)) Q ( b , f ( b )) を、点
P P P における曲線
C C C の接線と、点
Q Q Q における曲線
C C C の接線が直交するようにとる。このとき、曲線
C C C の
x = b x=b x = b から
x = a x=a x = a までの長さ
L L L を、
b b b を用いずに
a a a を用いて表せ。
問3
L L L が最小値をとるときの
a a a の値を求めよ。
まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。
2 答え答えを見る 自分の答えと照らし合わせる 問1 (i)
f 2 − ( f ′ ) 2 = 1 f^2-(f')^2=1 f 2 − ( f ′ ) 2 = 1 、(ii)
f ′ ′ = f f''=f f ′′ = f 。問2
L = e a − e − a 2 + 2 e a − e − a L=\dfrac{e^{a}-e^{-a}}{2}+\dfrac{2}{e^{a}-e^{-a}} L = 2 e a − e − a + e a − e − a 2 。問3
a = log ( 1 + 2 ) a=\log(1+\sqrt{2}) a = log ( 1 + 2 ) 。
3 解答解答を見る 途中式つきの解答 解答 f ′ ( x ) = e x − e − x 2 f'(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} f ′ ( x ) = 2 e x − e − x 、
f ′ ′ ( x ) = e x + e − x 2 f''(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} f ′′ ( x ) = 2 e x + e − x 。よって
f ( x ) 2 − f ′ ( x ) 2 = ( e x + e − x ) 2 − ( e x − e − x ) 2 4 = 1 , f ′ ′ ( x ) = f ( x )
f(x)^{2}-f'(x)^{2}=\frac{(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}=1,\qquad f''(x)=f(x)
f ( x ) 2 − f ′ ( x ) 2 = 4 ( e x + e − x ) 2 − ( e x − e − x ) 2 = 1 , f ′′ ( x ) = f ( x ) となる。
P,Q での接線の傾きはそれぞれ
f ′ ( a ) f'(a) f ′ ( a ) 、
f ′ ( b ) f'(b) f ′ ( b ) 。直交条件より
f ′ ( a ) f ′ ( b ) = − 1 f'(a)f'(b)=-1 f ′ ( a ) f ′ ( b ) = − 1 。
a > 0 a>0 a > 0 より
f ′ ( a ) > 0 f'(a)>0 f ′ ( a ) > 0 なので、
f ′ ( b ) = − 1 f ′ ( a ) < 0 f'(b)=-\dfrac{1}{f'(a)}<0 f ′ ( b ) = − f ′ ( a ) 1 < 0 となり、
b < 0 < a b<0<a b < 0 < a である。
曲線の弧長は
L = ∫ b a 1 + f ′ ( x ) 2 d x L=\displaystyle\int_{b}^{a}\sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx L = ∫ b a 1 + f ′ ( x ) 2 d x 。ここで
1 + f ′ ( x ) 2 = f ( x ) 2 1+f'(x)^{2}=f(x)^{2} 1 + f ′ ( x ) 2 = f ( x ) 2 かつ
f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0 だから、被積分関数は
f ( x ) = e x + e − x 2 f(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} f ( x ) = 2 e x + e − x に等しく、
L = [ e x − e − x 2 ] b a = f ′ ( a ) − f ′ ( b ) = e a − e − a 2 + 2 e a − e − a .
L=\left[\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right]_{b}^{a}=f'(a)-f'(b)=\frac{e^{a}-e^{-a}}{2}+\frac{2}{e^{a}-e^{-a}}.
L = [ 2 e x − e − x ] b a = f ′ ( a ) − f ′ ( b ) = 2 e a − e − a + e a − e − a 2 . s = e a − e − a 2 > 0 s=\dfrac{e^{a}-e^{-a}}{2}>0 s = 2 e a − e − a > 0 とすると
s + 1 s ≧ 2 s+\dfrac{1}{s}\geqq2 s + s 1 ≧ 2 で、等号は
s = 1 s=1 s = 1 のときである。よって
e a − e − a = 2 e^{a}-e^{-a}=2 e a − e − a = 2 、すなわち
e 2 a − 2 e a − 1 = 0 e^{2a}-2e^{a}-1=0 e 2 a − 2 e a − 1 = 0 となる。
e a > 0 e^{a}>0 e a > 0 より
e a = 1 + 2 e^{a}=1+\sqrt{2} e a = 1 + 2 であり、
a = log ( 1 + 2 ) a=\log(1+\sqrt{2}) a = log ( 1 + 2 ) である。
読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。
この問題で使う考え方
双曲線関数の恒等式 接線の傾きと直交条件 相加相乗平均 答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせ から教えてください。
琉球大学の数学を、過去 10 年分まとめて解けるものがあったら使いたいですか？
まとめてほしい 
白衣のものさし
