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鹿児島大学／2026年度／前期

1鹿児島大学 2026年 数学 第1問解答・解説

数と式二次関数場合の数と確率数学と人間の活動（整数）数列ベクトル

1問題

鹿児島大学2026年度第1問
次の各問いに答えよ。
(1) 点 OO を中心とする円の円周上に異なる2点 A,BA,B がある。線分 ABAB の長さが8であるとき、内積 AO→⋅AB→\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB} を求めよ。
(2) 関数 y=x∣x−1∣y=x|x-1| のグラフをかけ。
(3) 自然数 nn に対し、
∣x∣+∣y∣≦n |x|+|y|\leqq n
を満たす整数 x,yx,y の組 (x,y)(x,y) の個数を、nn を用いて表せ。ただし、例えば (0,1)(0,1) と (1,0)(1,0) は異なる組として数えるとする。
(4) 文字 AA が2個、文字 BB が2個、文字 CC が1個ある。この5文字を一列に並べるとき、2つの AA が隣り合わず、かつ2つの BB も隣り合わないような並べ方は何通りあるか。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 1(1)
    3232
  • 1(2)
    y={x−x2(x≦1),x2−x(x≧1),(0,0),(1,0), (1/2,1/4)を通るy=\begin{cases}x-x^2&(x\leqq1),\\x^2-x&(x\geqq1),\end{cases}\quad (0,0),(1,0),\ (1/2,1/4)\text{を通る}
  • 1(3)
    2n2+2n+12n^2+2n+1
  • 1(4)
    12通り12\text{通り}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

大問1
(1) AB→=AO→+OB→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}、また円の半径より ∣AO∣=∣OB∣|AO|=|OB|。したがって
AB2=(AO+OB)⋅(AO+OB)=2(∣AO∣2+AO⋅OB)=2 AO⋅AB. AB^2=(AO+OB)\cdot(AO+OB) =2\bigl(|AO|^2+AO\cdot OB\bigr) =2\,AO\cdot AB.
AB=8AB=8 なので AO→⋅AB→=64/2=32\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=64/2=32。

(2) 絶対値を場合分けすると
y=x∣x−1∣={x−x2(x≦1),x2−x(x≧1). y=x|x-1|= \begin{cases}x-x^2&(x\leqq1),\\x^2-x&(x\geqq1).\end{cases}
左側は下に開く放物線で頂点は (1/2,1/4)(1/2,1/4)、右側は上に開く放物線の x≧1x\geqq1 部分。両者は (1,0)(1,0) でつながり、左側は (0,0)(0,0) も通る。

(3) ∣x∣+∣y∣=j|x|+|y|=j の整数格子点数は、j=0j=0 で1個、j≧1j\geqq1 で4j個（ひし形の各辺にj−1点、頂点4点）。従って
1+∑j=1n4j=1+2n(n+1)=2n2+2n+1. 1+\sum_{j=1}^n4j=1+2n(n+1)=2n^2+2n+1.

(4) 全順列は 5!/(2!2!)=305!/(2!2!)=30。Aが隣り合うものはAAを一塊として 4!/2!=124!/2!=12、Bが隣り合うものも12。両方隣り合うものはAA,BB,Cの並べ方で 3!=63!=6。包除原理から
30−12−12+6=12. 30-12-12+6=12.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • ベクトルの内積
  • 絶対値の符号による場合分け
  • 整数格子点の層別計数
  • 包除原理

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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