7千葉大学 2026年 数学 第7問解答・解説

(1)

$z^{2}=\dfrac{(1+i)^{2}}{2}=i$、$z^{4}=-1$、$z^{8}=1$ である。よって任意の整数 $n$ を $n=8q+r$（$q$ は整数、$0\leqq r\leqq7$）と書けば、$z^{n}=z^{r}$ である。各 $r$ について
$$(z^{r})_{r=0}^{7}= \left( 1,\dfrac{1+i}{\sqrt{2}},\,i,\,\dfrac{-1+i}{\sqrt{2}},\,-1,\, \dfrac{-1-i}{\sqrt{2}},\,-i,\,\dfrac{1-i}{\sqrt{2}} \right).$$

(2)

$$|a_{0}+a_{1}z|^{2} =\left(a_{0}+\dfrac{a_{1}}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\dfrac{a_{1}}{\sqrt{2}}\right)^{2} =a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+\sqrt{2}\,a_{0}a_{1}.$$
これが1であるから、$\sqrt{2}\,a_{0}a_{1}=1-a_{0}^{2}-a_{1}^{2}$。右辺は整数であり、$\sqrt{2}$ は無理数なので $a_{0}a_{1}=0$。したがって $a_{0}^{2}+a_{1}^{2}=1$ であり、整数解は
$$(a_{0},a_{1})=(1,0),\ (-1,0),\ (0,1),\ (0,-1)$$
に限る。

(3)

$$z^{2}=i,\qquad z^{3}=iz,\qquad z^{4}=-1.$$
ゆえに任意の有限和 $a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{n}z^{n}$ は、$z^{4q+r}=(-1)^{q}z^{r}$（$0\leqq r\leqq3$）を用いて
$$w=A+Bz+Ci+Dz^{3}\qquad(A,B,C,D\text{ は整数})$$
と書ける。ここで
$$w=\left(A+\dfrac{B-D}{\sqrt{2}}\right) +i\left(C+\dfrac{B+D}{\sqrt{2}}\right)$$
だから
$$|w|^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2} +\sqrt{2}\{A(B-D)+C(B+D)\}.$$
$|w|=1$ と $\sqrt{2}$ の無理性から
$$A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}=1,\qquad A(B-D)+C(B+D)=0.$$
特に前者より $A,B,C,D$ のうち一つだけが $1$ または $-1$、他は0である。したがって
$$w=1,\,-1,\,z,\,-z,\,i,\,-i,\,z^{3},\,-z^{3}\ \text{のいずれかであり、}\ w=z^{k}\ \text{（}k\text{ は }0\leqq k\leqq7\text{ を満たす整数}\text{）}$$
と表せる。逆に各 $z^{k}$（$0\leqq k\leqq7$）は係数を一つだけ1として表せ、$|z^{k}|=1$ である。これらがちょうど求める複素数である。