3筑波大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1)
y=f(x) の値は 0 以上なので、共有点では $-2x\geqq 0$、すなわち $x\leqq 0$ である。
(i) $x(x+a)\geqq 0$ のとき、$|x(x+a)|=x(x+a)$ なので $x(x+a)=-2x$。整理すると $x(x+a+2)=0$ より $x=0$、$x=-a-2$。
$x=-a-2$ のとき $x(x+a)=(-a-2)(-2)=2a+4>0$ で、条件を満たす。
(ii) $x(x+a)<0$、すなわち $-a<x<0$ のとき、$|x(x+a)|=-x(x+a)$ なので $-x(x+a)=-2x$。$x\neq 0$ で両辺を $-x$ で割ると $x+a=2$ より $x=2-a$。$a>2$ より $-a<2-a<0$ で、条件を満たす。
以上より、共有点の x 座標は $0$、$2-a$、$-a-2$ の 3 つで、互いに異なる。よって相異なる 3 つの共有点をもつ。
$y=-2x$ より、
$$P=(0,\,0),\quad Q=(2-a,\,2a-4),\quad R=(-a-2,\,2a+4)$$
である。

(2)
$2-a\leqq x\leqq 0$ では $C$ は $y=-x(x+a)$ で、$\ell$ は $y=-2x$ である。
差は $-x(x+a)+2x=-x(x+a-2)$ で、$2-a<x<0$ では $-x>0$、$x+a-2>0$ なので正となり、$C$ は $\ell$ の上にある。$b=a-2>0$ とおくと
$$S_{1}=\int_{-b}^{0}(-x^{2}-bx)\,dx=\left[-\frac{x^{3}}{3}-\frac{bx^{2}}{2}\right]_{-b}^{0}=0-\left(\frac{b^{3}}{3}-\frac{b^{3}}{2}\right)=\frac{b^{3}}{6}$$
よって $S_{1}=\dfrac{(a-2)^{3}}{6}$。

線分 QR は $-a-2\leqq x\leqq 2-a$ の部分である。
$-a-2\leqq x\leqq -a$ では $C$ は $y=x(x+a)$、$\ell-C=-x(x+a+2)\geqq 0$。
$-a\leqq x\leqq 2-a$ では $C$ は $y=-x(x+a)$、$\ell-C=x(x+a-2)\geqq 0$（$x\leqq 0$、$x+a-2\leqq 0$）。
よって、
$$S_{2}=\int_{-a-2}^{-a}(-x^{2}-(a+2)x)\,dx+\int_{-a}^{2-a}(x^{2}+(a-2)x)\,dx$$
である。
第 1 項は、原始関数 $-\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{(a+2)x^{2}}{2}$ の値の差で、
$$\left(\frac{a^{3}}{3}-\frac{(a+2)a^{2}}{2}\right)+\frac{(a+2)^{3}}{6}=2a+\frac{4}{3}$$
第 2 項は、原始関数 $\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{(a-2)x^{2}}{2}$ の値の差で、
$$\frac{(a-2)^{3}}{6}-\left(-\frac{a^{3}}{3}+\frac{(a-2)a^{2}}{2}\right)=2a-\frac{4}{3}$$
したがって $S_{2}=4a$。

(3)
$t=a-2$ とすると、$2<a\leqq 8$ は $0<t\leqq 6$、$4a=4t+8$ なので
$$S_{1}-S_{2}=\frac{t^{3}}{6}-4t-8$$
これを $D(t)$ とおくと、$D'(t)=\dfrac{t^{2}-8}{2}$ である。
よって $D(t)$ は $0<t\leqq 2\sqrt{2}$ で減少し、$2\sqrt{2}\leqq t\leqq 6$ で増加する。
$D(2\sqrt{2})=\dfrac{16\sqrt{2}}{6}-8\sqrt{2}-8=-8-\dfrac{16\sqrt{2}}{3}$、$D(6)=36-24-8=4$ である。
$t\to 0$ のとき $D(t)\to -8$ であるが、これは最小値より大きい。
したがって、$S_{1}-S_{2}$ のとりうる値の範囲は
$$-8-\frac{16\sqrt{2}}{3}\leqq S_{1}-S_{2}\leqq 4$$
である。