1鹿児島大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) 二倍角の公式より，$\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta$ である。$t=\sin\theta$ とおくと，不等式は$$1-2t^2>t\quad\text{すなわち}\quad 2t^2+t-1<0\quad\text{すなわち}\quad (2t-1)(t+1)<0$$となる。したがって$-1<t<\frac12$である。$0\leqq\theta<2\pi$ において，$\sin\theta=\frac12$ となるのは$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$，$\sin\theta=-1$ となるのは$\theta=\frac{3\pi}{2}$である。よって，求める範囲は$$0\leqq\theta<\frac{\pi}{6},\quad\frac{5\pi}{6}<\theta<\frac{3\pi}{2},\quad\frac{3\pi}{2}<\theta<2\pi$$である。
(2) 与式を展開して，逆数どうしの項を組にすると$$\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)(x+y+z)=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right).$$ここで$x,y>0$より$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{(x-y)^2}{xy}\geqq0$$であり，同様に他の二組もそれぞれ2以上である。したがって与式は9以上である。等号が成り立つには三組すべてで等号が必要だから$x=y,\ x=z,\ y=z$，すなわち$x=y=z$である。このとき与式は9となるので，最小値は9で，その条件は$x=y=z>0$である。
(3) 「$a+b=2$ かつ $a-b=0$」なら$a=b=1$だから$(a-1)(b-1)=0$である。逆は成り立たず，例えば$a=1,b=0$では積は0だが$a+b=2$ではない。よって前者は後者の十分条件だが必要条件ではなく，アは（い）である。
「$ax^2+bx+c=0$ が$x$についての恒等式」なら，すべての実数$x$が方程式を満たすので，実数解が存在する。逆は成り立たない。例えば$a=0,b=1,c=0$では$x=0$が解だが，$x=0$は恒等式ではない。したがって「実数解が存在する」ことは「恒等式である」ことの必要条件だが十分条件ではなく，イは（あ）である。