6新潟大学 2026年 数学 第6問解答・解説

(1) $\dfrac{d}{dx}(-\log\cos x)=\tan x$ より
$$I_1=\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx =\left[-\log\cos x\right]_0^{\pi/4} =-\log\frac{\sqrt2}{2} =\frac12\log 2.$$

(2) $\,1+\tan^2x=\sec^2x$ と $\dfrac{d}{dx}(\tan^{2n}x)=2n\tan^{2n-1}x\sec^2x$ を用いると
$$\begin{aligned} I_{n+1}+I_n &=\int_0^{\pi/4}\tan^{2n-1}x(1+\tan^2x)\,dx\\ &=\left[\frac{\tan^{2n}x}{2n}\right]_0^{\pi/4} =\frac1{2n}. \end{aligned}$$$$I_{n+1}+I_n={\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{2n-1}x(1+{\tan }^{2}x)dx$$$$={\left[\frac{{\tan }^{2n}x}{2n}\right]}_0^{\pi /4}=\frac{1}{2n}.$$

(3) $0\leqq x\leqq\pi/4$ では $\tan x\geqq0$。$x>0$ とし $h(x)=\dfrac{\tan x}{x}$ とおくと
$$h'(x)=\frac{x\sec^2x-\tan x}{x^2} =\frac{x-\sin x\cos x}{x^2\cos^2x}.$$
ここで $g(x)=x-\sin x\cos x$ とおけば
$$g(0)=0,\qquad g'(x)=1-\cos 2x=2\sin^2x\geqq0.$$
従って $g(x)\geqq0$ であり、$h'(x)\geqq0$。よって $h$ は $0<x\leqq\pi/4$ で増加し、
$$\frac{\tan x}{x}\leqq\frac{\tan(\pi/4)}{\pi/4}=\frac4\pi.$$
$x=0$ でも不等式は等号で成り立つ。以上より
$$0\leqq\tan x\leqq\frac4\pi x\qquad(0\leqq x\leqq\pi/4).$$

(4) (3)を $I_n$ の被積分関数に用いると
$$0\leqq I_n\leqq\int_0^{\pi/4}\left(\frac4\pi x\right)^{2n-1}dx =\left(\frac4\pi\right)^{2n-1}\frac{(\pi/4)^{2n}}{2n} =\frac{\pi}{8n}.$$
従って $I_n\to0$。また (2) より $\dfrac1k=2(I_{k+1}+I_k)$ だから
$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k} &=2\sum_{k=1}^{n}(-1)^k(I_{k+1}+I_k)\\ &=-2I_1+2(-1)^nI_{n+1}. \end{aligned}$$$$\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^k}{k}=2\sum _{k=1}^n(-1{)}^k(I_{k+1}+I_k)$$$$=-2I_1+2(-1{)}^n{I}_{n+1}.$$
$I_{n+1}\to0$ と (1) を用いれば
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k} =-2I_1=-\log 2.$$