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横浜市立大学／2022年度／前期

II横浜市立大学 2022年 数学 第II問解答・解説

三角関数二次関数

1問題

横浜市立大学2022年度第II問
0∘≦θ<360∘0^{\circ}\leqq\theta<360^{\circ} の範囲で θ\theta についての関数 f(θ)=cos⁡2θ−2sin⁡θf(\theta)=\cos 2\theta-2\sin\theta を考えるとき、以下の各問いに答えなさい。
(1) t=sin⁡θt=\sin\theta とおくとき、f(θ)f(\theta) を tt で表しなさい。
(2) f(θ)f(\theta) の最大値を求めなさい。また、そのときの θ\theta の値をすべて求めなさい。
(3) CC を整数とします。θ\theta についての方程式 f(θ)+C=0f(\theta)+C=0 が異なる2つの解をもつような CC の値をすべて求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    f(θ)=1−2t2−2tf(\theta)=1-2t^2-2t、t=sin⁡θt=\sin\theta。
  • (2)
    最大値 32\dfrac{3}{2}、θ=210∘,330∘\theta=210^\circ,330^\circ。
  • (3)
    C=0,1,2C=0,1,2。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

t=sin⁡θt=\sin\theta とすれば −1≦t≦1-1\leqq t\leqq1 であり、cos⁡2θ=1−2t2\cos2\theta=1-2t^2 より f=1−2t2−2tf=1-2t^2-2t。

(2)

f=−2(t+12)2+32f=-2\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}。従って最大値は32\dfrac{3}{2}で、等号条件 t=−12t=-\dfrac{1}{2} は範囲内で θ=210∘,330∘\theta=210^\circ,330^\circ。
(3)

f(θ)+C=0f(\theta)+C=0 は 1−2t2−2t+C=01-2t^2-2t+C=0 の実数解のうち −1≦t≦1-1\leqq t\leqq1 を満たす tt ごとに解を数える。CC が整数で可能な範囲は−1≦C≦3-1\leqq C\leqq3。C=−1C=-1 ではt=0,−1t=0,-1から計3解、C=0,1,2C=0,1,2では各1つの内点tが得られ、θ解は各2個、C=3C=3ではt=1t=1のみで1解。従って答えは C=0,1,2C=0,1,2。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 置換 t=sinθ
  • 平方完成
  • 解の個数の端点確認

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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