III順天堂大学 2026年 数学 第III問解答・解説

三角関数の加法定理と与えられた基本極限から導関数を求める。導関数の符号と、自然数 $n$ に関する数学的帰納法で有限和の誤差の符号を示し、その $n=2,\,3$ の結果で $\sin 1$ を挟む。

(1)

加法定理より
$$\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\sin x\cdot\dfrac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\dfrac{\sin h}{h}.$$
また、$\cos h-1=-2\sin^{2}\dfrac{h}{2}$ だから
$$\dfrac{\cos h-1}{h} =-\dfrac{h}{2}\left(\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right)^{2}\longrightarrow0 \quad(h\to0).$$
問題文で与えられた極限と合わせると
$$(\sin x)'=\lim_{h\to0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\cos x$$
を得る。

(2)

$f(x)=x-\sin x$ とおく。(1) より $f'(x)=1-\cos x$ である。三角関数の基本関係 $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ から $\cos x\leqq1$ なので、$f'(x)\geqq0$ である。したがって $f$ は $x\geqq0$ の範囲で増加し、$f(0)=0$ から $f(x)\geqq0$、すなわち $\sin x\leqq x$ である。

(3)

まず $n=1$ では
$$F_{1}(x)=x-\sin x\geqq0$$
は (2) の結果であり、
$$G_{1}(x)=1-\cos x\geqq0$$
も $\cos x\leqq1$ から成り立つ。

$n\geqq2$ とする。有限和を項別に微分すると
$$S_{n}'(x)=T_{n}(x),\qquad T_{n}'(x)=\sum_{k=2}^{n}(-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-3}}{(2k-3)!} =-S_{n-1}(x).$$
また、加法定理と (1) で用いた極限から
$$(\cos x)'=\lim_{h\to0} \left(\cos x\cdot\dfrac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot\dfrac{\sin h}{h}\right) =-\sin x.$$
よって
$$F_{n}'(x)=G_{n}(x),\qquad G_{n}'(x)=(-1)^{n-1}\{-S_{n-1}(x)+\sin x\}=F_{n-1}(x).$$
さらに $F_{n}(0)=0$ であり、問題文の $T_{n}(0)=1$ と $\cos0=1$ から $G_{n}(0)=0$ である。いま $F_{n-1}(x)\geqq0$ と仮定すると、$G_{n}'(x)\geqq0$ かつ $G_{n}(0)=0$ より $G_{n}(x)\geqq0$ である。続いて $F_{n}'(x)=G_{n}(x)\geqq0$ および $F_{n}(0)=0$ より $F_{n}(x)\geqq0$ となる。$n=1$ で成り立ち、この議論で $n$ から $n+1$ へ進めるので、すべての自然数 $n$ について両不等式が成り立つ。

(4)

$x=1$ として (3) の $n=2$ を用いると
$$0\leqq F_{2}(1)=\sin 1-\left(1-\dfrac{1}{3!}\right)$$
より $\dfrac{5}{6}\leqq\sin 1$ である。また $n=3$ では
$$0\leqq F_{3}(1)=1-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{5!}-\sin 1$$
だから $\sin 1\leqq\dfrac{101}{120}$ である。最後に
$$\dfrac{5}{6}-\dfrac{83}{100}=\dfrac{1}{300}>0,\qquad \dfrac{85}{100}-\dfrac{101}{120}=\dfrac{1}{120}>0$$
なので
$$0.83<\dfrac{5}{6}\leqq\sin 1\leqq\dfrac{101}{120}<0.85.$$
以上より示された。