1大阪公立大学 2026年 数学 第1問解答・解説

曲線上では $0\leqq x\leqq\cos\alpha$ であり、回転軸は $x$ 軸なので、位置 $x$ における断面は半径 $y$ の円板で、その面積は $\pi y^2$ である。曲線の式を $y$ について解き、$t=\sqrt{x/\cos\alpha}$ とおくと
$$x=\cos\alpha\,t^2,\qquad y=\sin\alpha\,(1-t)^2,\qquad dx=2\cos\alpha\,t\,dt\quad(0\leqq t\leqq1).$$
したがって
$$\begin{aligned} V(\alpha)&=\pi\int_0^{\cos\alpha}y^2\,dx\\ &=2\pi\cos\alpha\sin^2\alpha\int_0^1t(1-t)^4\,dt\\ &=2\pi\cos\alpha\sin^2\alpha\left(\frac12-\frac43+\frac64-\frac45+\frac16\right)\\ &=\frac{\pi}{15}\cos\alpha\sin^2\alpha. \end{aligned}$$$$V(\alpha )=\pi {\int }_0^{\cos \alpha }{y}^{2}dx$$$$=2\pi \cos \alpha {\sin }^2\alpha {\int }_0^{1}t(1-t{)}^{4}dt$$$$=2\pi \cos \alpha {\sin }^2\alpha \left(\frac{1}{2}-\frac{4}{3}+\frac{6}{4}-\frac{4}{5}+\frac{1}{6}\right)$$$$=\frac{\pi }{15}\cos \alpha {\sin }^2\alpha .$$
ここで積分値は $1/30$ である。

次に $c=\cos\alpha$ とおくと $0<c<1$、$\sin^2\alpha=1-c^2$ なので
$$V(\alpha)=\frac{\pi}{15}c(1-c^2).$$
関数 $c(1-c^2)$ の導関数は $1-3c^2$ である。よって $0<c<1/\sqrt3$ では増加し、$1/\sqrt3<c<1$ では減少するため、最大は $c=1/\sqrt3$ でとる。このとき $\sin^2\alpha=2/3$ だから
$$V_{\max}=\frac{\pi}{15}\cdot\frac1{\sqrt3}\cdot\frac23=\frac{2\pi}{45\sqrt3}.$$
したがって問1は $V(\alpha)=\frac{\pi}{15}\cos\alpha\sin^2\alpha$、問2の最大値は $\frac{2\pi}{45\sqrt3}$、そのとき $\cos\alpha=\frac1{\sqrt3}$ である。