2旭川医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

問1 $f'(x)=-3x(x-2a)$ だから、f は $x\leqq0$ で減少、$0\leqq x\leqq2a$ で増加、$x\geqq2a$ で減少する。$f(0)=0,\ f(2a)=4a^3,\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty,\ \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty$ である。したがって $0<b<4a^3$ では交点が3個あり、$b=0,4a^3$ では接点を含めて異なる実数解が2個、範囲外では1個である。よって $0\leqq b\leqq4a^3$。
問2　 $u=\sqrt t>0$ とおくと $g(t)=\frac{1}{2a}\left(u^3+\frac3u\right)$ であり、$u^3+\frac3u-4=\frac{(u-1)^2(u^2+2u+3)}{u}\geqq0$. 等号は $u=1\ (t=1)$ のとき成立する。また $t\to0^+$ または $t\to\infty$ で $g(t)\to\infty$ だから、値域は $g(t)\geqq\frac2a$.
問3(1) 問1,2の条件の共通部分は $0\leqq b\leqq4a^3$ かつ $b\geqq\frac2a$ である。したがって $\frac2a\leqq4a^3$すなわち $a^4\geqq\frac12$. もともと $0<a\leqq1$ より $2^{-1/4}\leqq a\leqq1$ となり、$\frac2a\leqq b\leqq4a^3$。
問3(2) $(a,b)$ 平面で、$a=2^{-1/4}$ において $b=\frac2a$ と $b=4a^3$ が交わる。$2^{-1/4}\leqq a\leqq1$ の範囲で下側の境界が $b=\frac2a$、上側の境界が $b=4a^3$ であり、$a=1$ でそれぞれ $b=2,4$ となる。よって$S=\int_{2^{-1/4}}^1\left(4a^3-\frac2a\right)\,da=\left[a^4-2\log a\right]_{2^{-1/4}}^1=1-\left(\frac12+\frac12\log2\right)=\frac{1-\log2}{2}$。
問3(2)の領域図. 条件を満たす領域は
$2^{-1/4}\leqq a\leqq1,\quad \frac2a\leqq b\leqq4a^3$ である。
境界は $a=2^{-1/4}$ で $b=2^{5/4}$ に交わり、$a=1$ では
$b=2,4$ となる。図ではこの上下の境界曲線の間を網掛けした。

問3(2)の条件を満たす $(a,b)$ の領域。