1大阪大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1)

曲線を $y=f(x)$、$f(x)=x-x^{3}$ とおくと $f'(s)=1-3s^{2}$ である。したがって、点 $(s,\,s-s^{3})$ における接線は
$$\ell_{s}:\ y=(1-3s^{2})x+2s^{3}.$$
よって $\ell_{0}:y=x$、$\ell_{1}:y=-2x+2$ であり、
$$\mathrm{P}\left(\dfrac{2}{3},\,\dfrac{2}{3}\right),\qquad \mathrm{Q}\left(\dfrac{2t}{3},\,\dfrac{2t}{3}\right)$$
である。また、$\mathrm{R}$ の $x$ 座標を $x_{\mathrm{R}}$ とすると、$\ell_{1}$ と $\ell_{t}$ の交点の条件から
$$-2x_{\mathrm{R}}+2=(1-3t^{2})x_{\mathrm{R}}+2t^{3},\qquad x_{\mathrm{R}}=\dfrac{2(t^{2}+t+1)}{3(t+1)}.$$
$\mathrm{R}$ は $\ell_{t}$ 上にあるから、$y_{\mathrm{R}}$ について
$$y_{\mathrm{R}}-x_{\mathrm{R}}=-3t^{2}x_{\mathrm{R}}+2t^{3}=-\dfrac{2t^{2}}{t+1}.$$
$\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$ は直線 $y=x$ 上にあり、$0<t<1$ より
$$\mathrm{PQ}=\dfrac{2\sqrt{2}(1-t)}{3}.$$
点 $\mathrm{R}$ と直線 $\ell_{0}$ の距離を $d$ とすると、
$$d=\dfrac{|y_{\mathrm{R}}-x_{\mathrm{R}}|}{\sqrt{2}}=\dfrac{2t^{2}}{\sqrt{2}(t+1)}.$$
したがって
$$S(t)=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{PQ}\cdot d=\dfrac{2t^{2}(1-t)}{3(t+1)}.$$

(2)

$0<t<1$ においてこの式を微分すると、
$$S'(t)=\dfrac{4t(1-t-t^{2})}{3(t+1)^{2}}.$$
分母と $t$ は正であり、$1-t-t^{2}=0$ の $0<t<1$ の範囲内の解は $\alpha=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ である。$1-t-t^{2}$ は $0<t<\alpha$ で正、$\alpha<t<1$ で負だから、$S(t)$ は $t=\alpha$ で最大となる。$\alpha^{2}=1-\alpha$ および $1+\alpha=\dfrac{1}{\alpha}$ を用いると、
$$S(\alpha)=\dfrac{2\alpha^{2}(1-\alpha)}{3(1+\alpha)}=\dfrac{2\alpha^{5}}{3}=\dfrac{5\sqrt{5}-11}{3}.$$