2高知大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1)
$f(x)=3x^3+ax^2+bx+c$ とおくと、導関数は $f'(x)=9x^2+2ax+b$ である。

条件 $f(1)=0$ より
$$3+a+b+c=0 \quad\cdots\text{①}$$
条件 $f(2)=3$ より
$$24+4a+2b+c=3,\quad\text{すなわち}\quad 4a+2b+c=-21 \quad\cdots\text{②}$$
条件 $f'(1)=0$ より
$$9+2a+b=0,\quad\text{すなわち}\quad 2a+b=-9 \quad\cdots\text{③}$$

②$-$① より $3a+b=-18$ …④。④$-$③ より $a=-9$。これを③に代入して $b=9$。さらに①に代入して $c=-3$。

よって
$$a=-9,\ b=9,\ c=-3,\qquad f(x)=3x^3-9x^2+9x-3=3(x-1)^3.$$

すべての条件を満たす。

(2)
(1)の結果より $f(x)=3(x-1)^3$、$f'(x)=9(x-1)^2$ である。

点 $(t,f(t))$ における接線は
$$y=f'(t)(x-t)+f(t)=9(t-1)^2(x-t)+3(t-1)^3$$
である。これは整理すると
$$y=9(t-1)^2x-3(t-1)^2(2t+1)=3(t-1)^2\{3x-(2t+1)\}$$
とも書ける。

$t>1$ のとき $(t-1)^2\neq0$ であるから、$y=0$ とおいて両辺を $3(t-1)^2$（$\neq0$）で割ると
$$3x-(2t+1)=0,\qquad \text{よって}\ x=\dfrac{2t+1}{3}.$$

公式 $(2\cdot2+1)/3=5/3$ と一致する。

(3)
点 $(x_n,f(x_n))$ における接線と $x$ 軸との交点が $x_{n+1}$ として定まるためには、$f'(x_n)\neq0$、すなわち $x_n\neq1$ が必要である。

$x_1=2>1$ である。$x_n>1$ と仮定すると、(2)の結果を $t=x_n$（$>1$）として用いて
$$x_{n+1}=\dfrac{2x_n+1}{3}$$
が定まる。このとき
$$x_{n+1}-1=\dfrac{2x_n+1}{3}-1=\dfrac{2x_n-2}{3}=\dfrac23(x_n-1)>0$$
であるから $x_{n+1}>1$ も成り立つ。よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $x_n>1$ であり、上の漸化式が常に成り立つ。

漸化式 $x_{n+1}=\dfrac23x_n+\dfrac13$ は
$$x_{n+1}-1=\dfrac23(x_n-1)$$
と変形できるから、数列 $\{x_n-1\}$ は公比 $\dfrac23$ の等比数列である。初項は $x_1-1=1$ であるから
$$x_n-1=\left(\dfrac23\right)^{n-1},\qquad \text{よって}\ x_n=1+\left(\dfrac23\right)^{n-1}.$$

$n=2$: 公式で $x_2=1+2/3=5/3$、漸化式で $(2\cdot2+1)/3=5/3$ ✓。$n=3$: 公式で $1+4/9=13/9$、漸化式で $(2\cdot(5/3)+1)/3=(13/3)/3=13/9$ ✓。

(4)
$$x_{n+1}-x_n=\left(\dfrac23\right)^{n}-\left(\dfrac23\right)^{n-1}=\left(\dfrac23\right)^{n-1}\left(\dfrac23-1\right)=-\dfrac13\left(\dfrac23\right)^{n-1}$$
であるから
$$|x_{n+1}-x_n|=\dfrac13\left(\dfrac23\right)^{n-1}.$$
これが $\dfrac12\times10^{-4}$ より小さくなる最小の $n$ を求める。不等式
$$\dfrac13\left(\dfrac23\right)^{n-1}<\dfrac12\times10^{-4}$$
の両辺を $3$ 倍して
$$\left(\dfrac23\right)^{n-1}<\dfrac32\times10^{-4}.$$
両辺とも正であるから、常用対数をとっても不等号の向きは変わらず、
$$(n-1)\log_{10}\dfrac23<\log_{10}\dfrac32-4$$
となる。ここで
$$\log_{10}\dfrac23=\log_{10}2-\log_{10}3=0.301-0.477=-0.176,\qquad \log_{10}\dfrac32=\log_{10}3-\log_{10}2=0.477-0.301=0.176$$
であるから
$$-0.176(n-1)<0.176-4=-3.824.$$
両辺を負の数 $-0.176$ で割ると不等号の向きが変わり
$$n-1>\dfrac{3.824}{0.176}=\dfrac{3824}{176}=\dfrac{239}{11}=21.7272\cdots$$
$n-1$ は整数であるから、これを満たす最小の $n-1$ は $22$、よって求める最小の $n$ は
$$n=23.$$

一方 $n-1=21$ のとき $21\times(-0.176)=-3.696>-3.824$ となり不等式を満たさない。よって最小の $n$ は $23$ である。