1香川大学 2026年 数学 第1問解答・解説

接線の傾きは導関数で求める。回転後の方向は45度回転の成分公式から求め、交点は三次式の因数分解と二次方程式の判別式で示す。

(1)
$y=x^3$ の導関数は $3x^2$ なので、点 $P(t,t^3)$ での接線の傾きは $3t^2$。よって点傾き式から
$$\boxed{\ell_1:\ y-t^3=3t^2(x-t),\quad y=3t^2x-2t^3}.$$

(2)
$\ell_1$ の方向ベクトルを $(1,3t^2)$ とする。反時計回り45度回転の成分は
$$\begin{pmatrix}\cos45^\circ&-\sin45^\circ\\\sin45^\circ&\cos45^\circ\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\3t^2\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1-3t^2\\1+3t^2\end{pmatrix}.$$
条件 $|t|<1/\sqrt3$ により第一成分は正で、回転後の傾きは
$$m=\frac{1+3t^2}{1-3t^2}.$$
回転中心 $P$ は直線上に残るから
$$\boxed{\ell_2:\ y-t^3=\frac{1+3t^2}{1-3t^2}(x-t)}.$$
同値な形は
$$\boxed{(1-3t^2)y-(1+3t^2)x+t+2t^3+3t^5=0}.$$

(3)
$C$ と $\ell_2$ の交点の $x$ 座標は
$$x^3-t^3=m(x-t),\qquad (x-t)(x^2+tx+t^2-m)=0$$
を満たす。一本目の根は $x=t$。二次式の判別式は
$$\Delta=t^2-4(t^2-m)=4m-3t^2>4-1=3>0,$$
なぜなら $m\geqq1$ かつ $3t^2<1$。したがって二次式は相異なる二つの実根を持つ。また
$$m-3t^2=\frac{1+9t^4}{1-3t^2}>0,$$
よって $x=t$ を二次式に代入した値 $3t^2-m$ は0でなく、三次式の根 $t$ は二次式の二根とは異なる。従って交点は相異なる3点である。