5九州大学 2026年 数学 第5問解答・解説

積分の端点を微分して極値を特定し、部分積分で極小値を求める。極限は積分差を被積分関数の差に直し、単調性によるはさみうちで評価する。

(1) $g(t)=\log(4t^{2}+1)$ とおくと、$g$ は全実数で連続であり、積分の上端・下端を微分して
$$f'(x)=g(x+1)-g(x)=\log\dfrac{4(x+1)^{2}+1}{4x^{2}+1}.$$
対数関数は増加するから、$f'(x)$ の符号は
$$4(x+1)^{2}+1-(4x^{2}+1)=4(2x+1)$$
の符号と一致する。したがって、$x<-\dfrac{1}{2}$ で $f'(x)<0$、$x>-\dfrac{1}{2}$ で $f'(x)>0$ である。よって $f$ は $x=-\dfrac{1}{2}$ まで減少し、その後増加するので、ここで唯一の極小値をとる。

その値は
$$f\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle\int_{-\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{1}{2}}\log(4t^{2}+1)\,dt.$$
$\alpha$ は $\tan\alpha=2t$（$-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$）を満たす角であり、その微分は $\dfrac{d\alpha}{dt}=\dfrac{2}{1+4t^{2}}$ である。部分積分により
$$\int\log(4t^{2}+1)\,dt=t\log(4t^{2}+1)-2t+\alpha+C$$
となるので、
$$f\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\left[t\log(4t^{2}+1)-2t+\alpha\right]_{-\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{1}{2}}=\log 2-2+\dfrac{\pi}{2}.$$
ここで $t=\dfrac{1}{2}$ のとき $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$、$t=-\dfrac{1}{2}$ のとき $\alpha=-\dfrac{\pi}{4}$ である。
したがって極小値は $\dfrac{\pi}{2}+\log 2-2$ である。

(2) $g(t)=\log(4t^{2}+1)$、$h(t)=g(t)-g(t-1)$ とおく。積分区間をそろえると
$$f(x)-f(x-1)=\int_{x}^{x+1}\{g(t)-g(t-1)\}\,dt=\int_{x}^{x+1}h(t)\,dt.$$
$g'(t)=\dfrac{8t}{4t^{2}+1}$ であり、
$$g''(t)=\dfrac{8(1-4t^{2})}{(4t^{2}+1)^{2}}<0\qquad\left(t>\dfrac{1}{2}\right)$$
より、$g'$ は $t>\dfrac{1}{2}$ で減少する。したがって $t>\dfrac{3}{2}$ では $h'(t)=g'(t)-g'(t-1)<0$ となる。よって $x>\dfrac{3}{2}$ なら、$x\leqq t\leqq x+1$ の範囲で $h$ は減少し、
$$h(x+1)\leqq f(x)-f(x-1)\leqq h(x).$$
端点では
$$h(x)=\log\left(1+\dfrac{8x-4}{4(x-1)^{2}+1}\right),\qquad h(x+1)=\log\left(1+\dfrac{8x+4}{4x^{2}+1}\right).$$
ここで $u>0$ に対し $\log(1+u)=\displaystyle\int_{0}^{u}\dfrac{ds}{1+s}$ だから、$\dfrac{u}{1+u}\leqq\log(1+u)\leqq u$ である。また
$$\dfrac{8x-4}{4(x-1)^{2}+1}\longrightarrow 0,\quad x\cdot\dfrac{8x-4}{4(x-1)^{2}+1}\longrightarrow 2,\qquad \dfrac{8x+4}{4x^{2}+1}\longrightarrow 0,\quad x\cdot\dfrac{8x+4}{4x^{2}+1}\longrightarrow 2.$$
この不等式から $x\,h(x)\to 2$、$x\,h(x+1)\to 2$ である。上のはさみうちに $x$ を掛けて極限をとれば、求める極限は $2$ である。