3高知大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1)は絶対値関数の平行移動として直接グラフを描く。(2)は商の微分でg'(x)を作り、g(1)=1とg'(1)=0の2条件から連立してa,bを決定する。(3)は(2)の値を代入したg(x)の導関数を因数分解して符号を調べ、g(x)がV字形関数fとの合成に対して区間の端点・極値点でのみ|8/9-g(x)|が最大になりうることを用いて、4つの候補点の値を比較して最大値を確定する。

(1) 　 f(x)=$\left|\dfrac{8}{9}-x\right|$=$\left|x-\dfrac{8}{9}\right|$ であるから，$y=f(x)$ は $y=|x|$ のグラフを $x$ 軸方向に $\dfrac{8}{9}$ だけ平行移動したものである。すなわち
$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{8}{9}-x & \left(x\leqq \dfrac{8}{9}\right)\\[4pt] x-\dfrac{8}{9} & \left(x\geqq \dfrac{8}{9}\right) \end{cases}$$
であり，グラフは頂点 $\left(\dfrac{8}{9},0\right)$，$y$ 切片 $\left(0,\dfrac{8}{9}\right)$ をもち，$x\leqq \dfrac{8}{9}$ の部分は傾き $-1$，$x\geqq \dfrac{8}{9}$ の部分は傾き $1$ の半直線からなる，頂点が下に向いたV字形である。

(2) 　 $g(x)=\dfrac{ax^3+x^2+b}{2x^2+3}$ とおく。分母を $D(x)=2x^2+3$，分子を $N(x)=ax^3+x^2+b$ とすると，$D(x)>0$ であるから
$$g'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^2},\qquad N'(x)=3ax^2+2x,\ \ D'(x)=4x .$$
まず $g(1)=1$ より
$$N(1)=D(1)=2+3=5,\qquad \text{すなわち}\quad a+1+b=5\ \quad\text{より}\quad\ a+b=4. \tag{i}$$
次に $x=1$ における $g'(1)=0$ は $N'(1)D(1)-N(1)D'(1)=0$ と同値（$D(1)^2\neq0$）であり，$N'(1)=3a+2$，$D'(1)=4$，$N(1)=5$，$D(1)=5$ を用いると
$$(3a+2)\cdot 5-5\cdot 4=0 \ \quad\text{より}\quad\ 15a+10-20=0 \ \quad\text{より}\quad\ 15a=10 \ \quad\text{より}\quad\ a=\frac{2}{3}.$$
これを (i) に代入して
$$b=4-a=4-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}.$$
したがって
$$\boxed{a=\frac{2}{3},\quad b=\frac{10}{3}}$$
である。（$N'(1)=3\cdot\tfrac23+2=4=D'(1)$ より $N'(1)D(1)-N(1)D'(1)=4\cdot5-5\cdot4=0$，よって $g'(1)=0$。条件を満たす。)

(3) 　 (2) の値を代入すると
$$g(x)=\dfrac{\tfrac23x^3+x^2+\tfrac{10}{3}}{2x^2+3}=\dfrac{2x^3+3x^2+10}{6x^2+9}$$
（分子・分母をともに3倍しても値は変わらない）。以下ではこの表示を用いる。$N(x)=2x^3+3x^2+10$，$D(x)=6x^2+9$ とおくと $N'(x)=6x^2+6x$，$D'(x)=12x$ であり，
$$N'(x)D(x)-N(x)D'(x)=(6x^2+6x)(6x^2+9)-(2x^3+3x^2+10)(12x).$$
展開すると
$$(6x^2+6x)(6x^2+9)=36x^4+36x^3+54x^2+54x,$$
$$(2x^3+3x^2+10)(12x)=24x^4+36x^3+120x,$$
であるから，差をとって
$$N'(x)D(x)-N(x)D'(x)=12x^4+54x^2-66x=6x\left(2x^3+9x-11\right).$$
ここで $2x^3+9x-11$ は $x=1$ を代入すると $2+9-11=0$ となるので $(x-1)$ を因数にもち，
$$2x^3+9x-11=(x-1)(2x^2+2x+11)$$
と因数分解できる（実際に展開して確認できる）。$2x^2+2x+11$ の判別式は $2^2-4\cdot2\cdot11=4-88=-84<0$ で係数 $2>0$ だから，すべての実数 $x$ で $2x^2+2x+11>0$ である。したがって
$$g'(x)=\frac{6x(x-1)(2x^2+2x+11)}{D(x)^2}$$
の符号は $D(x)^2>0$，$2x^2+2x+11>0$ より $x(x-1)$ の符号と一致する。よって
$$-1\leqq x<0\ \text{で}\ g'(x)>0,\qquad 0<x<1\ \text{で}\ g'(x)<0,\qquad 1<x\leqq \frac32\ \text{で}\ g'(x)>0$$
であり，$g$ は $-1\leqq x\leqq0$ で単調増加，$0\leqq x\leqq1$ で単調減少，$1\leqq x\leqq\dfrac32$ で単調増加である（$x=0$ で極大，$x=1$ で極小）。各点の値を計算すると
$$g(-1)=\frac{-2+3+10}{6+9}=\frac{11}{15},\qquad g(0)=\frac{10}{9},\qquad g(1)=1,\qquad g\!\left(\frac32\right)=\frac{2\cdot\frac{27}{8}+3\cdot\frac94+10}{6\cdot\frac94+9}=\frac{\frac{47}{2}}{\frac{45}{2}}=\frac{47}{45}.$$
$h(x)=f(g(x))=\left|\dfrac89-g(x)\right|$ であり，$f(u)=\left|\dfrac89-u\right|$ は $u=\dfrac89$ を境に減少から増加へ移るV字形の関数である。$g$ が $-1\leqq x\leqq0$，$0\leqq x\leqq1$，$1\leqq x\leqq\frac32$ の各区間で単調であるから，各区間上で $u=g(x)$ は単調に動き，これに伴い $h(x)=|8/9-u|$ は $u$ が $8/9$ を通過する点で最小（$0$）となるだけで，区間内部で最大にはならない。したがって各単調区間における $h$ の最大値は，その区間の両端（すなわち $x=-1,0,1,\frac32$）のいずれかで実現され，$-1\leqq x\leqq\frac32$ の範囲全体での最大値もこの4点のいずれかで実現される。それぞれの点で
$$h(-1)=\left|\frac89-\frac{11}{15}\right|=\left|\frac{40}{45}-\frac{33}{45}\right|=\frac{7}{45},$$
$$h(0)=\left|\frac89-\frac{10}{9}\right|=\frac{2}{9}=\frac{10}{45},$$
$$h(1)=\left|\frac89-1\right|=\frac19=\frac{5}{45},$$
$$h\!\left(\frac32\right)=\left|\frac89-\frac{47}{45}\right|=\left|\frac{40}{45}-\frac{47}{45}\right|=\frac{7}{45}.$$
これらを比較すると最大は $h(0)=\dfrac{2}{9}$ であるから，求める最大値は
$$\boxed{\dfrac{2}{9}}\quad(x=0\ \text{のとき})$$
である。