4広島大学 2025年 数学 第4問解答・解説

$n$ を自然数とする。$(3n+1)$ 個の箱 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{3n+1}$ があり、1から $3n+1$ までの各自然数 $k$ に対して、$k$ 番目の箱 $A_{k}$ には、1から $k$ までの整数が一つずつ書かれた $k$ 枚のカードが入っている。これを初期状態とする。次の問いに答えよ。
(1) 箱 $A_{3n+1}$ に入っているすべてのカードに書かれた整数の平均値 $L$ を $n$ を用いて表せ。
(2) 箱 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{3n+1}$ に入っているすべてのカードに書かれた整数の平均値 $M$ を $n$ を用いて表せ。
(3) 初期状態から、箱 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{3n+1}$ に入っているすべてのカードを箱 $B$ に移す。箱 $B$ から1枚のカードを取り出すとき、カードに書かれた整数が(2)で求めた値 $M$ に等しくなる確率を $P(n)$ とする。$P(n)$ を $n$ を用いて表せ。
(4) $M$ を(2)で求めた値とする。初期状態から、箱 $A_{M},A_{M+1},\cdots,A_{3n+1}$ だけ集めて、ケース $C$ に収納する。ケース $C$ から一つの箱を選び、さらにその箱から1枚のカードを取り出す。カードに書かれた整数が $M$ に等しいとき、そのカードが箱 $A_{3n+1}$ から取り出されている条件付き確率を $Q(n)$ とする。$\displaystyle \lim_{n\to\infty}nQ(n)$ を求めよ。