2藤田医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

藤田医科大学 2024年度 一般前期 数学 問題2

(1) 一般項

$$a_{n+1}=\dfrac{3}{n}S_n,\qquad S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$$
とおく。すると
$$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=\left(1+\dfrac{3}{n}\right)S_n=\dfrac{n+3}{n}S_n.$$
$S_1=1$ なので
$$S_n=\dfrac{4}{1}\cdot\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{6}{3}\cdots\dfrac{n+2}{n-1}=\dfrac{(n+2)!}{3!\,(n-1)!}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}.$$
$S_0=0$ とおけば、これから
$$a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}{6}=\boxed{\dfrac{n(n+1)}{2}}\quad(n\geqq1).$$
この式は $n=1$ でも $a_{1}=1$ と一致する。

(2) 無限級数

一般項を代入すると
$$\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}a_{n+2}}=\dfrac{\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}}{\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot\dfrac{(n+2)(n+3)}{2}}=\dfrac{2}{n(n+3)}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+3}\right).$$
従って第 $N$ 部分和は
$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{N}\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}a_{n+2}} &=\dfrac{2}{3}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{N+1}-\dfrac{1}{N+2}-\dfrac{1}{N+3}\right). \end{aligned}$$
$N\to\infty$ とすると末尾の 3 項は $0$ に収束するので
$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}a_{n+2}}=\dfrac{2}{3}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)=\boxed{\dfrac{11}{9}}.$$