5広島大学 2026年 数学 第5問解答・解説

二乗した漸化式から正確な平方差を得る。(2) は帰納法、(3) は有限和と対数積分の評価で示し、(4) は平方差を有理化してはさみうちする。

(1)

$a_{1}=2$ は正の有理数である。$a_{n}$ が正の有理数ならば、$\dfrac{1}{a_{n}}$ も正の有理数だから、
$$a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{1}{a_{n}}$$
も正の有理数である。よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $a_{n}$ は正の有理数である。

(2)

$n=1$ では $a_{1}=2=\sqrt{2\cdot1+2}$ である。ある自然数 $n$ で $a_{n}\geqq\sqrt{2n+2}$ と仮定する。(1) より $a_{n}>0$ であり、
$$a_{n+1}^{2}=\left(a_{n}+\dfrac{1}{a_{n}}\right)^{2}=a_{n}^{2}+2+\dfrac{1}{a_{n}^{2}}>a_{n}^{2}+2\geqq2n+4=2(n+1)+2.$$
また $a_{n+1}>0$ なので、$a_{n+1}>\sqrt{2(n+1)+2}$ となる。したがって帰納法により、すべての自然数 $n$ について $a_{n}\geqq\sqrt{2n+2}$ である。

(3)

漸化式を二乗すると
$$a_{n+1}^{2}=a_{n}^{2}+2+\dfrac{1}{a_{n}^{2}}$$
を得る。これを $k=1,\,\cdots,\,n-1$ について加え、$a_{1}^{2}=4$ を用いると
$$a_{n}^{2}=2n+2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{a_{k}^{2}}$$
となる（$n=1$ のとき和は空の和とする）。(2) より $a_{k}^{2}\geqq2k+2$ だから、
$$\dfrac{1}{a_{k}^{2}}\leqq\dfrac{1}{2(k+1)}.$$
さらに $k\leqq x\leqq k+1$ では $\dfrac{1}{x}\geqq\dfrac{1}{k+1}$ なので、
$$\dfrac{1}{k+1}\leqq\displaystyle\int_{k}^{k+1}\dfrac{dx}{x}=\log(k+1)-\log k.$$
よって
$$a_{n}^{2}\leqq2n+2+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k+1}\leqq2n+2+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left(\log(k+1)-\log k\right)=2n+2+\dfrac{1}{2}\log n.$$
両辺は非負であるから、平方根をとって
$$a_{n}\leqq\sqrt{2n+2+\dfrac{1}{2}\log n}$$
を得る。

(4)

(3) と、(3) の導出で得た等式より
$$0\leqq a_{n}^{2}-2n=2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{a_{k}^{2}}\leqq2+\dfrac{1}{2}\log n.$$
したがって
$$0\leqq a_{n}-\sqrt{2n}=\dfrac{a_{n}^{2}-2n}{a_{n}+\sqrt{2n}}\leqq\dfrac{2+\dfrac{1}{2}\log n}{\sqrt{2n}}.$$
右辺は、問題文で与えられた $\dfrac{\log n}{\sqrt{n}}\to0$ と $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\to0$ より $0$ に収束する。はさみうちの原理から
$$\lim_{n\to\infty}(a_{n}-\sqrt{2n})=0.$$