II鳥取大学 2026年 数学 第II問解答・解説

各座標の増分を等比数列の和として合計し、得た一般項を用いて不等式・内積・点と直線の距離を求める。極限では$2^{-(n-1)}$が0に収束することを使う。

(1)
漸化式を順に足し合わせると、$n\geqq1$ に対して
$$x_n=1+\sum_{k=2}^{n}\frac1{2^{k-1}},\qquad y_n=1+\sum_{k=2}^{n}\frac2{2^{k-1}}$$
となる（$n=1$ のときは和を空和とする）。等比数列の和
$$\sum_{j=1}^{n-1}\frac1{2^j}=1-\frac1{2^{n-1}}$$
を用いれば
$$\boxed{x_n=2-\frac1{2^{n-1}},\qquad y_n=3-\frac1{2^{n-2}}}\qquad(n\geqq1)$$
を得る。$n=1$ でも右辺は $(1,1)$ となり、初期条件と一致する。

(2)
(1)より
$$x_n>1.5\text{であるための必要十分条件は} 2-2^{-(n-1)}>\frac32 \text{、すなわち} 2^{-(n-1)}<2^{-1} \text{、すなわち} n>2.$$
したがって最小の自然数は $\boxed{n=3}$ である。なお $x_2=1.5$ なので、等号の場合は条件を満たさない。

(3)
$\vec p_1=(1,1)$ だから
$$\vec p_1\cdot\vec p_n=x_n+y_n =5-2^{-(n-1)}-2^{-(n-2)} =5-3\cdot2^{-(n-1)}.$$
$2^{-(n-1)}\to0$ より
$$\boxed{\vec p_1\cdot\vec p_n=5-3\cdot2^{-(n-1)},\qquad \lim_{n\to\infty}\vec p_1\cdot\vec p_n=5}.$$

(4)
点 $P_n=(x_n,y_n)$ から直線 $y=x$ への垂線の足を $Q$ とすると
$$Q=\left(\frac{x_n+y_n}{2},\frac{x_n+y_n}{2}\right).$$
実際、$Q$ は $y=x$ 上にあり、$\overrightarrow{QP_n}$ の成分は互いに反対符号なので、方向ベクトル $(1,1)$ と垂直である。よって
$$d_n=P_nQ =\sqrt{2\left(\frac{x_n-y_n}{2}\right)^2} =\frac{|y_n-x_n|}{\sqrt2}.$$
(1)から
$$y_n-x_n=1-2^{-(n-1)}\geqq0\qquad(n\geqq1)$$
なので、絶対値を外して
$$d_n=\frac{1-2^{-(n-1)}}{\sqrt2}.$$
従って
$$\boxed{\lim_{n\to\infty}d_n=\frac1{\sqrt2}}.$$