3獨協医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) $n\geqq2$ について与式を $n$ と $n-1$ の差にとると
$$a_n^2=3n^2+2n-\{3(n-1)^2+2(n-1)\}=6n-1.$$
$a_n>0$ より $a_n=\sqrt{6n-1}$。

(2)(i) $u=6n-1$ とおくと $a_n=\sqrt u$、$a_{n+1}=\sqrt{u+6}$。四角形 $P_nQ_nQ_{n+1}P_{n+1}$ は、高さ $1/u-1/(u+6)$、平行な辺の長さ $\sqrt u,\sqrt{u+6}$ の台形だから
$$S_n=\frac{\sqrt u+\sqrt{u+6}}2\left(\frac1u-\frac1{u+6}\right) =\frac{3(\sqrt{6n-1}+\sqrt{6n+5})}{(6n-1)(6n+5)}.$$

(2)(ii) $T_n$ は、幅 $a_{n+1}-a_n$、平行な辺 $1/a_n^2,1/a_{n+1}^2$ の台形である。よって
$$T_n=\frac12\left(\frac1{6n-1}+\frac1{6n+5}\right)(\sqrt{6n+5}-\sqrt{6n-1}).$$
差を有理化して $\sqrt{6n+5}-\sqrt{6n-1}=6/(\sqrt{6n+5}+\sqrt{6n-1})$ とすると
$$\frac{T_n}{S_n}=\frac{12n+4}{(\sqrt{6n-1}+\sqrt{6n+5})^2}\longrightarrow\frac12.$$
従って $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{T_n/S_n}=1/\sqrt2$。

(2)(iii) $S_n$ の式から
$$S_n\sim \frac{3\cdot2\sqrt{6n}}{(6n)^2}=\frac{\sqrt6}{6}n^{-3/2}.$$
したがって $n^tS_n$ が0でない有限値に収束する指数は $t=3/2$ に限られ、その極限は $\alpha=\sqrt6/6$ である。