3兵庫医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

階乗の比を連続する二項の差に分解して和をとったときに途中の項が打ち消し合う形にする。一般式は初項と漸化的な加算を用いた数学的帰納法で証明する。

一般に
$$\frac{(k-1)!}{(k+p)!} =\frac1p\left(\frac{(k-1)!}{(k+p-1)!}-\frac{k!}{(k+p)!}\right)$$
である。右辺の括弧内は隣り合う項で消去する形になっている。

(1) $p=1$ の場合、
$$S_1=\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1-\frac1{n+1}$$
だから $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_1=1$。

(2) $p=2$ の場合、
$$S_2=\frac12\left(\frac1{2!}-\frac{n!}{(n+2)!}\right) =\frac14-\frac{n!}{2(n+2)!}.$$
ここで $\dfrac{n!}{(n+2)!}=\dfrac1{(n+1)(n+2)}\to0$ より、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_2=\frac14$。

(3) $p=3$ の場合、
$$S_3=\frac13\left(\frac1{3!}-\frac{n!}{(n+3)!}\right) =\frac1{18}-\frac{n!}{3(n+3)!}.$$
$\dfrac{n!}{(n+3)!}=\dfrac1{(n+1)(n+2)(n+3)}\to0$ だから、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_3=\frac1{18}$。

(4) (1)〜(3)から、有限和は
$$S_p=\frac1p\left(\frac1{p!}-\frac{n!}{(n+p)!}\right)$$
と推測できる。これを $n$ に関する数学的帰納法で証明する。$n=1$ では
$$\frac1p\left(\frac1{p!}-\frac1{(p+1)!}\right)=\frac1{(p+1)!}=\frac{0!}{(p+1)!}$$
であり成立する。

$n$ で成立すると仮定すると、
$$\begin{aligned} S_p(n+1) &=S_p(n)+\frac{n!}{(n+p+1)!}\\ &=\frac1{p p!}-\frac{n!}{p(n+p)!}+\frac{n!}{(n+p+1)!}\\ &=\frac1{p p!}-\frac{(n+1)!}{p(n+p+1)!}\\ &=\frac1p\left(\frac1{p!}-\frac{(n+1)!}{(n+p+1)!}\right). \end{aligned}$$$$S_p(n+1)=S_p(n)+\frac{n!}{(n+p+1)!}$$$$=\frac{1}{pp!}-\frac{n!}{p(n+p)!}+\frac{n!}{(n+p+1)!}$$$$=\frac{1}{pp!}-\frac{(n+1)!}{p(n+p+1)!}$$$$=\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p!}-\frac{(n+1)!}{(n+p+1)!}\right).$$
よって $n+1$ でも成立し、数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ で成り立つ。