3岐阜大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1)

差$c_n=a_{n+1}-a_n$をとると$c_1=2$,$c_{n+1}=c_n+2$なので$c_n=2n$。

(2)

これを足し上げて$a_n=n^2-n+1$。

(3)

和を計算して$S_n=\dfrac{n(n^2+2)}{3}$を得る。(4)

$3$ で割り切れないとき、$\dfrac{n^2+2}{3}$ は整数なので $S_n$ は $n$ の倍数であり、余りは $0$。

$n=3m$ のとき $S_n=n\cdot mn+2m$ で、$0\leqq2m<n$ なので余りは $2m=\dfrac{2n}{3}$。

(5)

$3$ で割り切れる $n$ で $\dfrac{2n}{3}=2026$ となるのは $n=3039$ のときなので、$r_n=2026$ となる $n$ は $n=3039$。