3香川大学 2026年 数学 第3問解答・解説

数列 $\{a_{n}\}$ が
$$a_{1}=1,\qquad \dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_{n}}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\quad(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$$
を満たすとし、また数列 $\{b_{n}\}$ を $b_{n}=\dfrac{3a_{n}+2}{a_{n}}$ で定める。このとき、次の問に答えよ。

(1) $a_{2},\,a_{3},\,a_{4}$ を求めよ。

(2) $a_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

(3) $b_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

(4) 座標平面上で、すべての点 $(b_{n},\,b_{n+1})\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ は一直線上にあることを示せ。